Determinare eventuali estremi relativi

[Slevin89]

Salve ragazzi,potreste illustrarmi la risoluzione del seguente esercizio :
Determinare eventuali estremi relativi della funzione:

$f(x,y)= (x^3/3-x^2)(y^3/3-y^2)$

calcolate le derivate parziali:

$fx=(x^2-2x)(y^3/3-y^2)=0$
$fy=(x^3/3-x^2)(y^2-2y)=0$

dal sistema ottengo i seguenti punti:

$A=(0,0),B=(2,0),C=(0,2),D=(2,2),E=(3,3),F=(0,3),G=(3,0),H=(3,2),I=(2,3)$

$fxx=(2x-2)(y^3/3-y^2)$

$fyy=(2y-2)(x^3/3-x^2)$

$fxy=(x^2-2x)(y^2-2y)$

$DetHf(A)=0$
$DetHf(B)=0$
$DetHf(C)=0$
$DetHf(D)>0 $ fxx < 0 max relativo
$DetHf(E)<0 $ punto di sella
$DetHf(F)=0$
$DetHf(G)=0$
$DetHf(H)=0$
$DetHf(I)=0$

Siccome ci sono parecchi casi dubbi,come faccio a capire se il punto è un max,min relativo o una sella?
Come posso risolverlo con la rappresentazione grafica?
Grazie in anticipo a tutti

[ciampax]

Hai sbagliato a risolvere i sistemi. Riscrivo le due equazioni

$(x^2-2x)(y^3-3y^2)=0,\qquad (x^3-3x^2)(y^2-2y)=0$

Dalla prima equazione si trova, per $x$, che $x=0,\ x=2$ sono soluzioni. Se adesso sostituisci nella seconda $x=0$ ottieni di nuovo una soluzione accettabile e pertanto tutti i punti della forma $(0,y),\ y\in\mathbb{R}$ sono stazionari. Se invece sostituisci $x=2$ allora ottieni $y^2-2y=0$ e quindi le soluzioni $y=0,\ y=2$, e pertanto i punti $(2,0),\ (2,2)$.

Prova a ricalcolare tutti i punti.

[Slevin89]

Ma quindi i punti sarebbero $(0,y)$,$(2,0)$ e $(2,2)$ ? $(2,2)$ è un max relativo ma come procedo per lo studio di $(2,0)$ e $(0,y)$?

[ciampax]

I punti sono molti di più.... ti ho detto di ricalcolarli.

[Slevin89]

Ok a me escono i seguenti punti:
$(0,0),(2,y),(0,y),(2,0),(2,2),(0,2),(x,0),(3,0),(3,2)$

giusto?

[ciampax]

Allora: da $x^2-2x=0$ segue $x=0,\ x=2$ che sostituiti nella seconda danno $0=0,\ -4(y^2-2y)=0$ e quindi i punti $(0,y),\ (2,0),\ (2,2)$.

Se invece $y^3-3y^2=0$ allora $y=0,\ y=3$ che sostituiti nella seconda danno $0=0,\ 3(x^3-3x^2)=0$ e quindi i punti $(x,0),\ (0,3),\ (3,3)$.

Nell'altra, se $x^3-3x^2=0$ allora $x=0,\ x=3$ che sostituiti nella prima danno $0=0,\ 3(y^3-3y^2)=0$ e quindi i punti $(0,y),\ (3,0),\ (3,3)$ (di cui due già noti).

Se invece $y^2-2y=0$ allora $y=0,\ y=2$ che sostituiti nella prima danno $0=0,\ -4(x^2-2x)=0$ e quindi i punti $(x,0),\ (0,2),\ (2,2)$ (di cui, di nuovo, due già noti).

In definitiva i punti sono

$(0,y),\ (2,2),\ (x,0),\ (3,3),$

in quanto i punti che abbiano almeno una coordinata pari a zero sono inclusi nei due casi $(x,0),\ (0,y)$.

P.S.: $(3,2),\ (2,y)$? E da dove saltano fuori???

[Slevin89]

Avevo sbagliato il sistema.. grazie,sei stato gentilissimo.

[ciampax]

Prego, non c'è di che. (scusa se sono un po' rude, ma è una deformazione caratteriale!)

Ora, come procedi per verificare di che tipo di estremi (se lo sono) si tratti? Mi pare di vedere che ci siano casi in cui l'hessiana può aiutarti e altri in cui devi ragionare su.