Determinare dominio via grafica

[Stizzens]

$ z=sqrt((-x^2-y^2-6x+4y-13)/(x^2+y^2-4))+ln(y+e^x) $
come prima cosa pongo le condizioni
il radicando >0
il denominatore diverso da 0
l'argomento del ln > 0
dopo di che studio il radicando > 0
faccio il numeratore (che mi riporta sia una circonferenza con centro(-3,2) e raggio = 0)
faccio il denominatore che è una circonferenza con raggio = 2 e centro (0,0)
faccio il grafico di entrambi e studio il segno, mi viene che il numeratore è sempre negativo mentre il denominatore è negativo all' interno e positivo all'esterno, quindi facendo il prodotto dei segni vedo che le soluzioni del dominio si trovano all' interno della circonferenza
$ x^2+y^2=4 $

dopo di che passo all' altra disequzione
$ y+e^x>0 $
scrivo l' equazione associata e trovo che
$ y=-e^x $
studiando con il punto prova la parte sotto e sopra del grafico mi risulta che è sempre positiva.
ora non capisco quale sarebbe il dominio graficamente?
solo l' interno della circonferenza $ x^2+y^2=4 $ ?

[pilloeffe]

Ciao Stizzens,

La funzione proposta si può scrivere nella forma seguente:

$ z = f(x,y) = sqrt{- frac{(x + 3)^2 + (y - 2)^2}{x^2+y^2-4}}+ln(y+e^x) $

Dunque ciò che compare sotto radice è positivo solo se $x^2 + y^2 < 4 $; d'altronde deve anche essere $y + e^x > 0 \implies y > - e^x $. Come risulta il dominio complessivo? Un aiuto da WolframAlpha:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%2B+y%5E2+%3C+4+and+y+%3E+-+e%5Ex

Aggiungo che la funzione $z = f(x, y) $ è definita anche nel punto $C(-3, 2) $ che annulla il numeratore della frazione che compare sotto la radice quadrata.