Determinare dominio di convergenza

[ride2]

salve,
come faccio a determinare il dominio di convergenza della serie
$\sum_{n=1}^oo 3^nsin(x/7^n)$
qual è una strategia abbastanza generale per procedere nella determinazione dell'insieme di convergenza? con le serie di potenze belle e pronte calcolo il raggio di convergenza, ma in tal caso invece?
a mio avviso tale serie non può convergere, in quanto divergerà sempre poichè il seno è comunque una funzione limitata... però volevo una stategia da seguire

[gugo82]

Chiediti innanzitutto per quali \(x\) è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza.

[ride2]

"gugo82":Chiediti innanzitutto per quali \(x\) è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza.

dovrei vedere per quali x la successione tende a zero, ovvero quando $3^nsin(x/7^n)$ tende a zero. ciò avviene quando il seno si annulla, ma in teoria ciò potrebbe accadere sempre in tale situazione visto che $x/7^n$ tende a zero comunque preso x, e che quindi avrei sempre il seno nullo.... non vedo come mi possa aiutare... pensavo che dato che il seno tende a zero, al massimo potrei sviluppare con taylor intorno all'origine e poi risolvere...

[theras]

"ride":[quote="gugo82"]Chiediti innanzitutto per quali \(x\) è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza.

dovrei vedere per quali x la successione tende a zero, ovvero quando $3^nsin(x/7^n)$ tende a zero. ciò avviene quando il seno si annulla, ma in teoria ciò potrebbe accadere sempre in tale situazione visto che $x/7^n$ tende a zero comunque preso x, e che quindi avrei sempre il seno nullo.... non vedo come mi possa aiutare... pensavo che dato che il seno tende a zero, al massimo potrei sviluppare con taylor intorno all'origine e poi risolvere...[/quote]
Un piccolo consiglio di carattere "generale",tra i pochi che posson darsi in merito alle serie di funzioni,
è iniziare col cercare(se esiste..),fissato a piacere $overline(x)$ nel più grande sottoinsieme di $RR$ ove è legittimo farlo,
una strategia comune per determinare il carattere della serie numerica $sum_(n=0)^(+oo)f_n(overline(x))$;
nel tuo caso è possibile farlo,
ricordando l'edizione originale del criterio del confronto ed una nota disuguaglianza che lega il seno ed il suo argomento,
ma dovresti passare al valore assoluto del termine generale di quella "serie numerica parametrica"
(potrebbe andar bene pure spezzare i due casi $x>0$ e $x<=0$ e giustificare che,
ai fini della determinazione di quel carattere,sono in fondo la stessa cosa..
ma trovo più opportuno il percorso suggerito fuori da questa parentesi!):
e lecito ed opportuno farlo?
E perchè?
Saluti dal web.