Determinare \(\displaystyle \frac {-sin(x)}{1+cos(x)} + x/2 \leq 0 \)
Salve, non ho capito un tratto della risoluzione della seguente disequazione:
\(\displaystyle \ln {(1+cos(x))}+x^2/4 \leq \ln {2} \ \forall x \in (- \pi. \pi) \)
Prima di tutto si pone la funzione \(\displaystyle f(x)= ln {(1+cos(x))}+x^2/4 - \ln {2} \ \forall x \in (- \pi. \pi) \)
Poi si decide di studiare il segno della funzione f(x), in particolare quando \(\displaystyle f(x) \leq 0 \). Per fare questo si decide di fare come prima cosa lo studio della derivata prima di f(x), cioè:
\(\displaystyle f'(x)= \frac {-sin(x)}{1+cos(x)} + x/2 \)
ma il segno di f'(x) è un pò difficile da definire in , quindi si è decisi di studiare f''(x), cioè:
\(\displaystyle f''(x)= frac{-1+cos(x)}{2(1+cos(x))} \)
si nota che \(\displaystyle f''(x) \leq 0 \forall x \in (- \pi, \pi) \), quindi f''(x) è decrescente in \(\displaystyle (- \pi , \pi) \). Quando si trova il punto per cui f'(x) si anulla, che è 0, si dice che quest'ultimo è un punto di massimo assoluto per\(\displaystyle f \ in (- \pi, \pi) \). Quello che non ho capito è come mai 0 è un punto di massimo assoluto. Ho capito che è l'unico punto per cui f'(x) si anulla, ma aver supposto di non saper determinare a priori il segno di f'(x), come si è arrivati a dire che 0 è un punto di massimo assoluto per \(\displaystyle f \ in (- \pi ,\pi) \)?
\(\displaystyle \ln {(1+cos(x))}+x^2/4 \leq \ln {2} \ \forall x \in (- \pi. \pi) \)
Prima di tutto si pone la funzione \(\displaystyle f(x)= ln {(1+cos(x))}+x^2/4 - \ln {2} \ \forall x \in (- \pi. \pi) \)
Poi si decide di studiare il segno della funzione f(x), in particolare quando \(\displaystyle f(x) \leq 0 \). Per fare questo si decide di fare come prima cosa lo studio della derivata prima di f(x), cioè:
\(\displaystyle f'(x)= \frac {-sin(x)}{1+cos(x)} + x/2 \)
ma il segno di f'(x) è un pò difficile da definire in , quindi si è decisi di studiare f''(x), cioè:
\(\displaystyle f''(x)= frac{-1+cos(x)}{2(1+cos(x))} \)
si nota che \(\displaystyle f''(x) \leq 0 \forall x \in (- \pi, \pi) \), quindi f''(x) è decrescente in \(\displaystyle (- \pi , \pi) \). Quando si trova il punto per cui f'(x) si anulla, che è 0, si dice che quest'ultimo è un punto di massimo assoluto per\(\displaystyle f \ in (- \pi, \pi) \). Quello che non ho capito è come mai 0 è un punto di massimo assoluto. Ho capito che è l'unico punto per cui f'(x) si anulla, ma aver supposto di non saper determinare a priori il segno di f'(x), come si è arrivati a dire che 0 è un punto di massimo assoluto per \(\displaystyle f \ in (- \pi ,\pi) \)?
Risposte
Non ne sono certa ma io ho fatto questo tipo di ragionemento:
Il fatto che la derivata seconda sia $\leq0$ nell'intervallo ti dice che la funzione $f$ ha una concavità rivolta verso il basso. Il fatto che la derivata prima si annulli in un punto ti dice che quello è un punto di massimo o minimo. Unendo questo fatto a quello che la funzione ha una concavità rivolta verso il basso questo di ce che 0 è un punto di massimo
Il fatto che la derivata seconda sia $\leq0$ nell'intervallo ti dice che la funzione $f$ ha una concavità rivolta verso il basso. Il fatto che la derivata prima si annulli in un punto ti dice che quello è un punto di massimo o minimo. Unendo questo fatto a quello che la funzione ha una concavità rivolta verso il basso questo di ce che 0 è un punto di massimo
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