Determinare convergenza uniforme quando non c'è totale.

[Suppish]

Salve a tutti, una domanda sempre sulle serie. Studiare la convergenza uniforme di una serie è difficile ed in genere si ricorre alla convergenza totale che implica quella uniforme. Ma se quella totale non c'è quali strumenti ho per determinare la convergenza uniforme?.
Mi viene subito in mente di usare la definizione , ma devo dire che ho parecchie difficoltà anche perchè di esercizi non ne ho trovati e questa è una sega mentale che mi sto infliggendo da solo.
Spulciando qua e la ho trovato anche il criterio di Weierstrass chiamato anche M-Test che mi piacerebbe approfondire se magari riusciste a farmi qualche esempio in cui viene usato.Se avete altri metodi suggerite pure, perchè io ne sono a corto

[dissonance]

L' M-Test di Weierstrass è la convergenza totale. Una serie passa l'M-Test se e solo se essa converge totalmente, è solo una maniera diversa di esprimersi. Per tutto il resto la risposta alla tua domanda è: se non c'è la convergenza totale, ti attacchi al tram.

Infatti non ci sono altri criteri di applicabilità generale, per verificare la convergenza uniforme delle serie.

[Suppish]

"dissonance":Se non c'è la convergenza totale, ti attacchi al tram. .

La mia risposta preferita , grazie mille mi hai liberato da un assillo

[gugo82]

Il test di Weierstrass è il seguente.
Se hai [tex]$\sum f_n$[/tex] prendi [tex]$\sum |f_n|$[/tex] e cerchi una serie numerica convergente [tex]$\sum M_n$[/tex] che maggiori [tex]$\sum |f_n|$[/tex] termine a termine: se la trovi hai convergenza assoluta, altrimenti non sai.
Ovviamente puoi ottimizzare la scelta degli [tex]$M_n$[/tex] scegliendoli [tex]$=\sup |f_n|$[/tex] (se gli estremi superiori esistono finiti) e quindi ritrovi l'usuale condizione di convergenza totale; viceversa se la tua serie converge totalmente puoi certamente scegliere [tex]$M_n=\sup |f_n|$[/tex] nel test di Weierstrass...

Tutto ciò per dire che il test di Weierstrass non è né più né meno che l'usuale test per la convergenza totale (checché ne dica WIKIpedia).


@dissonance: Mi hai battuto sul tempo!

[Suppish]

Scusate il ritardo della risposta, ma soprattutto l'insistenza .

In barba a quanto detto da Dissonance ho trovato degli esercizi svolti, dei quali vorrei sottoporvi il metodo di svolgimento.
Nelle serie (nulla di particolare) che sottopone, dopo aver calcolato il raggio di convergenza e il rispettivo insieme di convergenza I, il risolutore afferma che se gli estremi di I sono inclusi allora c'è convergenza uniforme nello stesso I, altrimenti ci sarà uniforme convergenza per ogni intervallo $ A sub I $ del tipo $[-k,k]$. Quanto è affidabile questo svolgimento? Esattamente qual'è il ragionamento che sta dietro questa affermazione?

Ho controllato altrove e ho visto che tutti ricorrono alla convergenza normale (totale) con analisi del sup e vedere se converge, metodo al quale ormai mi affido come unica arma per comprendere la convergenza uniforme.
Il sito in questione è :
http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... otenze.pdf

Dissonance perdonami per eventuali blasfemie, ma vorrei capire per bene quest'argomento

[j18eos]

Ma sono serie di potenze, addirittura esse sono totalmente convergenti in ogni intervallo chiuso contenuto nel loro intervallo di convergenza! Questo è un teorema che trovi su ogni libro di analisi matematica II! -_-

[gugo82]

Dietro alla soluzione c'è un notevole teorema di Abel:

Sia[tex]\sum a_n\ (x-x_0)^n[/tex] una serie di potenze e sia [tex]$\rho \in ]0,+\infty[$[/tex] il suo raggio di convergenza.

Se la serie converge nell'estremo [tex]$x_0+\rho$[/tex], allora la convergenza è uniforme in ogni sottointervallo [tex]$[a,b] \subseteq (x_0-\rho ,x_0+\rho]$[/tex] con [tex]$x_0-\rho
Se la serie converge nell'estremo [tex]$x_0-\rho$[/tex], allora la convergenza è uniforme in ogni sottointervallo [tex]$[a,b] \subseteq [x_0-\rho ,x_0+\rho)$[/tex] con [tex]$x_0-\rho \leq a
Infine, se la serie converge in ambedue gli estremi dell'intervallo di convergenza, allora la serie converge uniformemente in tutto l'intervallo chiuso [tex]$[x_0-\rho ,x_0+\rho]$[/tex].

Insomma, come saprai, la convergenza che c'è da aspettarsi da una serie di potenze è totale sui limitati strettamente contenuti nell'intervallo aperto di convergenza; però in generale la convergenza totale non la puoi ottenere su tutto l'intervallo di convergenza. Ovviamente ciò implica che ogni serie di potenze converge uniformemente in ogni limitato strettamente contenuto nell'intervallo aperto di convergenza, però in generale non puoi dire di più.
L'esempio standard è quello della serie geometrica [tex]\sum x^n[/tex], la quale converge in [tex]$]-1,1[$[/tex], la convergenza essendo totale (e quindi uniforme ed assoluta) su ogni limitato strettamente contenuto in [tex]$]-1,1[$[/tex], ma non converge totalmente né uniformemente in tutto [tex]$]-1,1[$[/tex].

Il teorema di Abel ti dice, in soldoni, che se hai convergenza puntuale in uno degli estremi dell'intervallo di convergenza, allora la serie converge uniformemente (ma in generale non totalmente) anche su quegli insiemi limitati contenuti nell'intervallo di convergenza che toccano l'estremo "buono" dell'intervallo stesso.
Inoltre, se hai convergenza in tutti e due gli estremi, la serie di potenze converge uniformemente (ma in generale non totalmente) in tutto l'intervallo chiuso di convergenza.

L'esempio classico è quello della serie logaritmica [tex]\sum \frac{1}{n}\ x^n[/tex], che converge totalmente in ogni limitato [tex]$\subset ]-1,1[$[/tex], ma non converge totalmente in tutto [tex]$]-1,1[$[/tex].
Visto che la serie converge nell'estremo [tex]$-1$[/tex] (per Leibniz), il teorema di Abel ti garantisce che la convergenza è uniforme non solo negli intervalli [tex]$[a,b]\subset ]-1,1[$[/tex], ma anche in quelli del tipo [tex]$[-1,b]$[/tex] con [tex]$b<1$[/tex].

Altro esempio è [tex]\sum \frac{1}{n(n+1)}\ x^{n+1}[/tex], che ha raggio di convergenza [tex]$\rho =1$[/tex] e converge in [tex]$\pm 1$[/tex]; il teorema di Abel assicura che, oltre alla solita convergenza totale sui limitati [tex]$\subseteq ]-1,1[$[/tex], la serie converge uniformemente su tutto l'intervallo chiuso [tex]$[-1,1]$[/tex].
A volerla dir tutta, la serie converge a [tex]$x+(1-x)\ \ln (1-x)$[/tex].


*** EDIT: Grazie a j18eos ed a dissonance.

[j18eos]

"gugo82": L'esempio classico è quello della serie geometrica [tex]\sum x^n[/tex], che converge...nell'estremo [tex]$-1$[/tex] (per Leibniz)...

M'hanno sempre detto che la serie di Grandi è irregolare ovvero non convergente!

[dissonance]

Proabilmente Gugo intende $sum \frac{x^n}{n}$. "Serie di Grandi"?

[j18eos]

Così la chiamano la serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n$[/tex]; che per l'appunto è la serie geometrica valutata in [tex]$-1$[/tex]! Supponevo che gugo si sia confuso con la convergenza alla Cesàro di questa serie "di Grandi"!

[gugo82]

Sì, scusate, ho scritto una caxxata clamorosa...
Volevo usare la serie logaritmica, ma non so perchè ho preso la serie geometrica.

Però la serie geometrica può essere usata per un altro esempio.

Vabbé, mo' comunque edito!
Grazie a tutti per avermi fatto notare l'erroraccio.

[j18eos]

Gugo per cortesia: non ti prostrare a terra per causa mia. Scusami ma trovo comica la scenetta. Ti vogliamo bene lo stesso anche se imiti i miei errori classici (pensare alla cosa giusta e postare quella errata).

P.S.: Mi ero promesso di non citarli (i miei errori) in questo post ma per "aiutarti" faccio uno strappo alla promessa.