Determinare convergenza serie
Non riesco a determinare se queste serie convergono:
$\sum_{n=1}^(oo) sin (1/sqrt(n))$
$\sum_{n=3}^(oo) (log(n))/n$
$\sum_{n=1}^(oo) (|sinn|)/n$
Credo che la 2° e la 3° possono essere risolte con il criterio del confronto,mentre la 1° non sò proprio come risolverla
$\sum_{n=1}^(oo) sin (1/sqrt(n))$
$\sum_{n=3}^(oo) (log(n))/n$
$\sum_{n=1}^(oo) (|sinn|)/n$
Credo che la 2° e la 3° possono essere risolte con il criterio del confronto,mentre la 1° non sò proprio come risolverla
Risposte
Per quanto riguarda la prima puoi considerare il fatto che per $n -> +\infty$, il $sin(1/sqrt(n))$ è un infinitesimo quindi puoi sostituirlo con il suo polinomio di Taylor
Applicando Taylor la 1° serie mi risulta uguale a $(1/sqrt(n))+o(n^-2)$,quindi dovrebbe divergere....
Non mi è chiaro come tu te la sia cavata con la terza serie.
Le prime due sono elementari:
1) confronto asintotico con la serie di termine generale $\frac{1}{\sqrt{n}}$ (che diverge a $+\infty$);
2) confronto con la serie armonica: $\frac{\log(n)}{n} \ge \frac{1}{n}$ definitivamente (quindi anche in questo caso la serie diverge a $+\infty$).
La terza serie non è banale.
Il modo più semplice che io conosca per dimostrare che diverge a $+\infty$ richiede l'uso delle serie in campo complesso e il metodo di sommazione per parti, che non so se hai fatto.
Le prime due sono elementari:
1) confronto asintotico con la serie di termine generale $\frac{1}{\sqrt{n}}$ (che diverge a $+\infty$);
2) confronto con la serie armonica: $\frac{\log(n)}{n} \ge \frac{1}{n}$ definitivamente (quindi anche in questo caso la serie diverge a $+\infty$).
La terza serie non è banale.
Il modo più semplice che io conosca per dimostrare che diverge a $+\infty$ richiede l'uso delle serie in campo complesso e il metodo di sommazione per parti, che non so se hai fatto.
"One":
Applicando Taylor la 1° serie mi risulta uguale a $(1/sqrt(n))+o(n^-2)$,quindi dovrebbe divergere....
Potrei sbagliarmi, ma la prima serie dovrebbe convergere.
Una volta applicato Taylor, dovresti applicare il criterio del rapporto.
Noterai che il limite ottenuto sarà 0... e quindi la serie...
"Rigel":
Il modo più semplice che io conosca per dimostrare che diverge a $+\infty$ richiede l'uso delle serie in campo complesso e il metodo di sommazione per parti, che non so se hai fatto.
La questione per le la 3a è molto più semplice di quanto pensi: $|sin n|$ per $n -> +\infty$ e limitata ad 1. quindi la serie diventa semplicemente $1/n$ che diverge..
@faximury: appunto perchè il primo termine della serie di Taylor è: $1/sqrt(n)$, avrai che questo è un infinitesimo di ordine minore di 2, quindo divergente..
"stefano_89":
[quote="Rigel"]Il modo più semplice che io conosca per dimostrare che diverge a $+\infty$ richiede l'uso delle serie in campo complesso e il metodo di sommazione per parti, che non so se hai fatto.
La questione per le la 3a è molto più semplice di quanto pensi: $|sin n|$ per $n -> +\infty$ e limitata ad 1. quindi la serie diventa semplicemente $1/n$ che diverge..
@faximury: appunto perchè il primo termine della serie di Taylor è: $1/sqrt(n)$, avrai che questo è un infinitesimo di ordine minore di 2, quindo divergente..[/quote]
Ma non è una serie armonica.
E nel caso del seno serve almeno il secondo termine in Taylor per fare un confronto asintotico valido.
Cioè: $sen(t) \sim t-t^3/6$
Scusa ma non capisco proprio il tuo ragionamento..
Perchè dovresti scrivere più di un termine ?
Facendo il confronto con $1/n^2$ ottieni: $(1/sqrt(x))/(1/n^2)$ cioè: $n^2/sqrt(x)$ che va a $+\infty$ quindi la radice è un infinitesimo di ordine inderiore ad $1/n^2$ e il tutto diverge..
Perchè dovresti scrivere più di un termine ?
Facendo il confronto con $1/n^2$ ottieni: $(1/sqrt(x))/(1/n^2)$ cioè: $n^2/sqrt(x)$ che va a $+\infty$ quindi la radice è un infinitesimo di ordine inderiore ad $1/n^2$ e il tutto diverge..
@stefano_89: la questione, per la terza serie, non è affatto semplice.
Col tuo ragionamento puoi solo dimostrare che $\frac{|\sin n|}{n}\le \frac{1}{n}$, che purtroppo non serve a niente.
Se a denominatore ci fosse stato un termine del tipo $n^a$, con $a>1$, con la maggiorazione $|\sin n|\le 1$ avresti dimostrato la convergenza della serie, ma purtroppo in questo caso non se ne viene fuori.
Tra l'altro, si può dimostrare che invece la serie $\sum_n \frac{\sin n}{n}$ è convergente, quindi come vedi la questione è piuttosto delicata.
Col tuo ragionamento puoi solo dimostrare che $\frac{|\sin n|}{n}\le \frac{1}{n}$, che purtroppo non serve a niente.
Se a denominatore ci fosse stato un termine del tipo $n^a$, con $a>1$, con la maggiorazione $|\sin n|\le 1$ avresti dimostrato la convergenza della serie, ma purtroppo in questo caso non se ne viene fuori.
Tra l'altro, si può dimostrare che invece la serie $\sum_n \frac{\sin n}{n}$ è convergente, quindi come vedi la questione è piuttosto delicata.
"Rigel":
Se a denominatore ci fosse stato un termine del tipo $n^a$, con $a>1$, con la maggiorazione $|\sin n|\le 1$ avresti dimostrato la convergenza della serie, ma purtroppo in questo caso non se ne viene fuori.
Fino a qua siamo d' accordo..
ma come mai dici che in questo caso converge ? anche se questa serie sembra avere un andamento come la serie armonica ?
$\sum_n \frac{\sin n}{n}$ è convergente in quanto è la parte immaginare della serie in campo complesso $\sum_n \frac{e^{i n}}{n}$, che a sua volta si può dimostrare essere convergente utilizzando il metodo di sommazione per parti (vedi ad esempio qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Summation_by_parts , la parte relativa ad "Applications").
"Rigel":
$\sum_n \frac{\sin n}{n}$ è convergente in quanto è la parte immaginare della serie in campo complesso $\sum_n \frac{e^{i n}}{n}$, che a sua volta si può dimostrare essere convergente utilizzando il metodo di sommazione per parti (vedi ad esempio qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Summation_by_parts , la parte relativa ad "Applications").
Non c' ho capito molto.. ma mi fido..
Anche perchè di quella roba non ne ho mai sentito parlare..
Scusate probabilmente al denominatore c'è $n^2$ e non $n$,può darsi che l'abbia ricopiata male io,in questo caso la serie diverge....
La 1° e la 3° serie mi tornano,invece non ho capito bene come mai $log(n)/n$ sia maggiore di $1/n$
La 1° e la 3° serie mi tornano,invece non ho capito bene come mai $log(n)/n$ sia maggiore di $1/n$
in questo caso la serie diverge....
Eh no in questo converge come abbiamo detto prima.. perchè è di ordine 2..
Eh no in questo converge come abbiamo detto prima.. perchè è di ordine 2..
Devo ripassare come si trattano gli infinitesimi di vario ordine,approfitto per chiedervi se qualcuno puo consigliarmi qualche sito dove viene trattato questo argomento(magari con un po di eser.).
Ritornando alla 1° serie "Rigel" se non mi sbaglio dice che diverge
Ritornando alla 1° serie "Rigel" se non mi sbaglio dice che diverge
Certo te l' ho confermato anch' io..
Scusa,credevo avessi quotato un post ancora precedente...Inoltre ho sbagliato a scrivere,la 3° torna convergente anche a me
"stefano_89":
Scusa ma non capisco proprio il tuo ragionamento..
Perchè dovresti scrivere più di un termine ?
Facendo il confronto con $1/n^2$ ottieni: $(1/sqrt(x))/(1/n^2)$ cioè: $n^2/sqrt(x)$ che va a $+\infty$ quindi la radice è un infinitesimo di ordine inderiore ad $1/n^2$ e il tutto diverge..
Ho trovato l'errore.
Ho sbagliato ad effettuare il rapporto.
Per n grande si comporta come $1/\sqrt(x)$, però non capivo perchè il risultato mi usciva diverso se si considera $1/\sqrt(x)-1/(6x(\sqrt(x)))$, che dovrebbe essere più preciso. Infatti c'era un errore.
Tutto ok, è divergete. Chiedo scusa sia a te che a One
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo