Determinare classe funzione a due variabili
Salve a tutti,
sto preparando lo scritto di analisi 2 e mi sto cimentando nella risoluzione degli appelli passati, ma c'è un esercizio su cui ho qualche dubbio. Esso mi chiede di studiare la classe della seguente funzione: \(\displaystyle (|xy|)^3 \). So che nei punti in cui il valore assoluto non si annulla la funzione è di classe infinita, quindi ho studiato la derivabilità tramite la definizione nei punti (x,0); (0,y); e (0,0) e in tutti e tre la derivata mi torna 0.
Pensavo quindi che la funzione fosse di classe C infinita ma sul test la soluzione corretta segnata è: f appartiene a C1 \ C infinito.
Tra le opzioni c'era anche solamente: f appartiene a C infinito, ma è segnata sbagliata.
Se non erro una funzione C infinito deve essere necessariamente C1, quindi non riesco a capire il significato della opzione corretta. Qualcuno potrebbe dirmi gentilmente dove sbaglio?
sto preparando lo scritto di analisi 2 e mi sto cimentando nella risoluzione degli appelli passati, ma c'è un esercizio su cui ho qualche dubbio. Esso mi chiede di studiare la classe della seguente funzione: \(\displaystyle (|xy|)^3 \). So che nei punti in cui il valore assoluto non si annulla la funzione è di classe infinita, quindi ho studiato la derivabilità tramite la definizione nei punti (x,0); (0,y); e (0,0) e in tutti e tre la derivata mi torna 0.
Pensavo quindi che la funzione fosse di classe C infinita ma sul test la soluzione corretta segnata è: f appartiene a C1 \ C infinito.
Tra le opzioni c'era anche solamente: f appartiene a C infinito, ma è segnata sbagliata.
Se non erro una funzione C infinito deve essere necessariamente C1, quindi non riesco a capire il significato della opzione corretta. Qualcuno potrebbe dirmi gentilmente dove sbaglio?
Risposte
Ciao frafazio, benvenut* sul forum!
Il calcolo delle derivate parziali in $(x,0)$ e $(0,y)$ è corretto (osserva che $(0,0)$ è un caso particolare di questi due punti generici), devi studiare l'eventuale continuità della derivata prima e delle derivate successive: ricorda che, fissato $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, dire che $f \in \mathcal{C}^k (\mathbb{R}^2)$ significa $f$ derivabile su $\mathbb{R}^2$ con derivata $k$-esima continua su $\mathbb{R}^2$. Si pone invece $\mathcal{C}^\infty (\mathbb{R}^2)$ l'insieme delle funzioni di classe $\mathcal{C}^k (\mathbb{R}^2)$ per ogni $k \in\mathbb{N} \setminus \{0\}$. Per $k=0$, si intende che $f$ è continua su $\mathbb{R}^2$.
Riprova a studiare la regolarità di quella funzione; se hai altri dubbi, puoi riportare lo svolgimento qui e lo rivediamo insieme.
Il calcolo delle derivate parziali in $(x,0)$ e $(0,y)$ è corretto (osserva che $(0,0)$ è un caso particolare di questi due punti generici), devi studiare l'eventuale continuità della derivata prima e delle derivate successive: ricorda che, fissato $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, dire che $f \in \mathcal{C}^k (\mathbb{R}^2)$ significa $f$ derivabile su $\mathbb{R}^2$ con derivata $k$-esima continua su $\mathbb{R}^2$. Si pone invece $\mathcal{C}^\infty (\mathbb{R}^2)$ l'insieme delle funzioni di classe $\mathcal{C}^k (\mathbb{R}^2)$ per ogni $k \in\mathbb{N} \setminus \{0\}$. Per $k=0$, si intende che $f$ è continua su $\mathbb{R}^2$.
Riprova a studiare la regolarità di quella funzione; se hai altri dubbi, puoi riportare lo svolgimento qui e lo rivediamo insieme.
"Mephlip":
Ciao frafazio, benvenut* sul forum!
Il calcolo delle derivate parziali in $(0,0)$ è corretto, tuttavia sbagli punti che annullano $|xy|$: non è solamente l'origine. Inoltre, poi devi studiare l'eventuale continuità della derivata prima e delle derivate successive: ricorda che, fissato $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, dire che $f \in \mathcal{C}^k (\mathbb{R}^2)$ significa $f$ derivabile su $\mathbb{R}^2$ con derivata $k$-esima continua su $\mathbb{R}^2$. Si pone invece $\mathcal{C}^\infty (\mathbb{R}^2)$ l'insieme delle funzioni di classe $\mathcal{C}^k ($\mathbb{R}^2$)$ per ogni $k \in\mathbb{N} \setminus \{0\}$. Per $k=0$, si richiede solo la continuità.
Riprova a studiare la regolarità di quella funzione; se hai altri dubbi, puoi riportare lo svolgimento qui e lo rivediamo insieme.
Innanzitutto grazie mille della risposta.
Ti dico come ho fatto.
Prima di tutto ho visto che è una funzione continua perchè composizione di funzioni continue, quindi so per certo che $f \in \mathcal{C}^0 (\mathbb{R}^2)$; ho fatto poi le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y in $(0,y_0);(x_0,0)$ usando la definizione, cioè $fx=lim_(xtox_0)((|xy_0|)^3-(|x_0y_0|)^3)/(x-x_0)$ e $fy=lim_(ytoy_0)((|x_0y|)^3-(|x_0y_0|)^3)/(y-y_0)$ e mi tornano $0$ in tutti i casi, quindi vedo che in quei punti la funzione è derivabile ed ha derivate parziali continue. Ho poi fatto le derivate parziali in tutti gli altri punti, in particolare: se $x>0$ e $y>0$ oppure se $x<0$ e $y<0$ ho che $fx=3x^2y^3$ e $fy=3x^3y^2$ mentre se $x<0$ e $y>0$ oppure se $x>0$ e $y<0$ ho che $fx=-3x^2y^3$ e $fy=-3x^3y^2$, quindi la funzione dovrebbe essere derivabile con derivate parziali continue in tutti i punti, e di conseguenza dovrebbe essere $f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^2)$. Facendo le derivate seconde, terze, ecc... se non erro ho sempre funzioni continue e quindi la mia funzione dovrebbe essere $ \mathcal{C}^infty$.
Avevo anche pensato di procedere evitando di studiare le derivate parziali per tutti i punti diversi da $(0,y);(x,0)$ perché tanto ho sempre composizioni di funzioni $\mathcal{C}^infty$ che danno quindi funzioni $\mathcal{C}^infty$. Però la professoressa ha scritto che la risposta corretta è $f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^2)$ \ $\mathcal{C}^infty(\mathbb{R}^2)$ e non $f \in \mathcal{C}^infty (\mathbb{R}^2)$.
Hai per caso un'idea su cosa può significare quella risposta? Perché fatico a comprendere la presenza del segno \.
Prego! Innanzitutto scusami, ho modificato il mio messaggio prima che tu rispondessi perché mi ero reso conto di aver letto male una cosa: avevi identificato correttamente i punti in cui si annulla $|xy|$.
Ti confermo che le motivazioni che hai dato per dire che $f \in \mathcal{C}^0 (\mathbb{R}^2)$ sono corrette.
Per la continuità delle derivate parziali, invece, c'è un errore. Denotando con $A=\{(x,0) \ \text{t.c.} \ x \in \mathbb{R}\} \cup \{(0,y) \ \text{t.c.} \ y \in \mathbb{R}\}$, i casi da te discussi si possono compattare scrivendo come segue:
$$f_x (x,y)=\begin{cases} 3xy^2|xy|, \ \text{se} \ (x,y) \in\mathbb{R}^2 \setminus A \\0, \ \text{se} \ (x,y) \in A \end{cases}$$
$$f_y (x,y)=\begin{cases} 3x^2y|xy|, \ \text{se} \ (x,y) \in\mathbb{R}^2 \setminus A \\0, \ \text{se} \ (x,y) \in A \end{cases}$$
Tuttavia, non puoi dedurre la continuità delle derivate parziali solamente considerando le espressioni $3xy^2|xy|$ e $3x^2y |xy|$: questo perché $f_x$ ed $f_y$ sono funzioni definite a tratti che cambiano definizione in ogni intorno bucato dei punti di $A$. Perciò, per dimostrarne la continuità, devi calcolare per $x_0,y_0 \in \mathbb{R}$ arbitrari i limiti:
$$\lim_{(x,y) \to (x_0,0)} f_x (x,y)$$
$$\lim_{(x,y) \to (0,y_0)} f_x (x,y)$$
$$\lim_{(x,y) \to (x_0,0)} f_y (x,y)$$
$$\lim_{(x,y) \to (0,y_0)} f_y (x,y)$$
E assicurarti che valgano $0$. In questo caso, è immediato verificare che tali limiti sono $0$; quindi, $f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^2)$.
Ora, devi continuare questo stesso studio con le derivate seconde. Dovrai adesso calcolare le derivate parziali $f_{x x}$, $f_{xy}$ di $f_x$ ed $f_{yx}$ ed $f_{yy}$ di $f_y$ definite a tratti sopra, con le regole di derivazione dove possibile e con il limite del rapporto incrementale dove non è possibile applicare direttamente le regole di derivazione. Ottenute le espressioni delle quattro derivate parziali, calcolare i limiti negli eventuali punti in cui cambiano definizione e vedere se tali limiti coincidono con il valore nel punto in cui cambiano definizione. Se c'è tale coincidenza, allora le derivate parziali seconde sono continue e quindi $f \in \mathcal{C}^2 (\mathbb{R}^2)$. Se questo non avviene (anche solo per una delle quattro derivate parziali), puoi appunto concludere che $f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^2) \setminus \mathcal{C}^\infty (\mathbb{R}^2)$; il simbolo $\setminus$ va inteso come differenza insiemistica: dire che $f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^2) \setminus \mathcal{C}^\infty (\mathbb{R}^2)$ significa appunto dire che $f$ è derivabile con continuità una volta ma non lo è $k$-volte per ogni $k \in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$. In pratica, stai dicendo che è derivabile con continuità una e una sola volta (se ci pensi, dire che lo è una volta non esclude che lo sia anche di più: insomma, appartenere a $f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^2)$ non esclude una regolarità maggiore, perché $\mathcal{C}^{k+1} (\mathbb{R}^2) \subseteq \mathcal{C}^k (\mathbb{R}^2)$ per ogni $k \in \mathbb{N}$).
Chiaramente, ci sono modi più intelligenti di procedere; ma questo è il metodo standard, ed è importante interiorizzarlo. Ad esempio, un modo intelligente potrebbe essere per assurdo: se per assurdo $f \in \mathcal{C}^2 (\mathbb{R}^2)$, varrebbe il teorema di Schwarz e quindi dovrebbe essere $f_{xy} (x,y)=f_{yx} (x,y)$ per ogni $(x,y) \in \mathbb{R}^2$. Quindi, se trovassimo anche un solo punto $(x_1,y_1)\in\mathbb{R}^2$ tale che $f_{xy} (x_1,y_1) \ne f_{yx} (x_1,y_1)$ potremmo concludere che $f \notin \mathcal{C}^2 (\mathbb{R}^2)$ e quindi, per quanto detto sopra, $f \notin \mathcal{C}^k (\mathbb{R}^2)$ per ogni $k \in\mathbb{N} \setminus \{0,1\}$.
P.S.: Non c'è bisogno di quotare tutto il messaggio scritto dalla persona a cui stai rispondendo. Quotare tutto appesantisce inutilmente la conversazione. Quota solamente le parti necessarie, altrimenti c'è il pulsante "Rispondi" in basso a sinistra. Grazie.
Ti confermo che le motivazioni che hai dato per dire che $f \in \mathcal{C}^0 (\mathbb{R}^2)$ sono corrette.
Per la continuità delle derivate parziali, invece, c'è un errore. Denotando con $A=\{(x,0) \ \text{t.c.} \ x \in \mathbb{R}\} \cup \{(0,y) \ \text{t.c.} \ y \in \mathbb{R}\}$, i casi da te discussi si possono compattare scrivendo come segue:
$$f_x (x,y)=\begin{cases} 3xy^2|xy|, \ \text{se} \ (x,y) \in\mathbb{R}^2 \setminus A \\0, \ \text{se} \ (x,y) \in A \end{cases}$$
$$f_y (x,y)=\begin{cases} 3x^2y|xy|, \ \text{se} \ (x,y) \in\mathbb{R}^2 \setminus A \\0, \ \text{se} \ (x,y) \in A \end{cases}$$
Tuttavia, non puoi dedurre la continuità delle derivate parziali solamente considerando le espressioni $3xy^2|xy|$ e $3x^2y |xy|$: questo perché $f_x$ ed $f_y$ sono funzioni definite a tratti che cambiano definizione in ogni intorno bucato dei punti di $A$. Perciò, per dimostrarne la continuità, devi calcolare per $x_0,y_0 \in \mathbb{R}$ arbitrari i limiti:
$$\lim_{(x,y) \to (x_0,0)} f_x (x,y)$$
$$\lim_{(x,y) \to (0,y_0)} f_x (x,y)$$
$$\lim_{(x,y) \to (x_0,0)} f_y (x,y)$$
$$\lim_{(x,y) \to (0,y_0)} f_y (x,y)$$
E assicurarti che valgano $0$. In questo caso, è immediato verificare che tali limiti sono $0$; quindi, $f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^2)$.
Ora, devi continuare questo stesso studio con le derivate seconde. Dovrai adesso calcolare le derivate parziali $f_{x x}$, $f_{xy}$ di $f_x$ ed $f_{yx}$ ed $f_{yy}$ di $f_y$ definite a tratti sopra, con le regole di derivazione dove possibile e con il limite del rapporto incrementale dove non è possibile applicare direttamente le regole di derivazione. Ottenute le espressioni delle quattro derivate parziali, calcolare i limiti negli eventuali punti in cui cambiano definizione e vedere se tali limiti coincidono con il valore nel punto in cui cambiano definizione. Se c'è tale coincidenza, allora le derivate parziali seconde sono continue e quindi $f \in \mathcal{C}^2 (\mathbb{R}^2)$. Se questo non avviene (anche solo per una delle quattro derivate parziali), puoi appunto concludere che $f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^2) \setminus \mathcal{C}^\infty (\mathbb{R}^2)$; il simbolo $\setminus$ va inteso come differenza insiemistica: dire che $f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^2) \setminus \mathcal{C}^\infty (\mathbb{R}^2)$ significa appunto dire che $f$ è derivabile con continuità una volta ma non lo è $k$-volte per ogni $k \in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$. In pratica, stai dicendo che è derivabile con continuità una e una sola volta (se ci pensi, dire che lo è una volta non esclude che lo sia anche di più: insomma, appartenere a $f \in \mathcal{C}^1 (\mathbb{R}^2)$ non esclude una regolarità maggiore, perché $\mathcal{C}^{k+1} (\mathbb{R}^2) \subseteq \mathcal{C}^k (\mathbb{R}^2)$ per ogni $k \in \mathbb{N}$).
Chiaramente, ci sono modi più intelligenti di procedere; ma questo è il metodo standard, ed è importante interiorizzarlo. Ad esempio, un modo intelligente potrebbe essere per assurdo: se per assurdo $f \in \mathcal{C}^2 (\mathbb{R}^2)$, varrebbe il teorema di Schwarz e quindi dovrebbe essere $f_{xy} (x,y)=f_{yx} (x,y)$ per ogni $(x,y) \in \mathbb{R}^2$. Quindi, se trovassimo anche un solo punto $(x_1,y_1)\in\mathbb{R}^2$ tale che $f_{xy} (x_1,y_1) \ne f_{yx} (x_1,y_1)$ potremmo concludere che $f \notin \mathcal{C}^2 (\mathbb{R}^2)$ e quindi, per quanto detto sopra, $f \notin \mathcal{C}^k (\mathbb{R}^2)$ per ogni $k \in\mathbb{N} \setminus \{0,1\}$.
P.S.: Non c'è bisogno di quotare tutto il messaggio scritto dalla persona a cui stai rispondendo. Quotare tutto appesantisce inutilmente la conversazione. Quota solamente le parti necessarie, altrimenti c'è il pulsante "Rispondi" in basso a sinistra. Grazie.
Okay grazie, ora ho capito.
Cercherò in ogni caso di fare come hai scritto tu perché è il procedimento che effettivamente ti permette di trovare la classe della funzione ma siccome a me basterebbe anche vedere che la funzione non è $C^infty$, potrei fare come segue?
Trovo le derivate terze rispetto a $x$ nei due casi: $fx x x= 6y$ e $fx x x= -6y$ e vedo che per ogni $y!=0$ le due derivate sono diverse. Posso dire quindi che la funzione non è ulteriormente derivabile in tutti i punti ed affermare che non è $C^infty$?
P.S. perdonatemi ma sto facendo casino cancellando e rimettendo i messaggi.
Cercherò in ogni caso di fare come hai scritto tu perché è il procedimento che effettivamente ti permette di trovare la classe della funzione ma siccome a me basterebbe anche vedere che la funzione non è $C^infty$, potrei fare come segue?
Trovo le derivate terze rispetto a $x$ nei due casi: $fx x x= 6y$ e $fx x x= -6y$ e vedo che per ogni $y!=0$ le due derivate sono diverse. Posso dire quindi che la funzione non è ulteriormente derivabile in tutti i punti ed affermare che non è $C^infty$?
P.S. perdonatemi ma sto facendo casino cancellando e rimettendo i messaggi.
Prego! Hai scritto due volte $f_{x x x}$, ma penso che intendessi $f_{x x x}$ ed $f_{yyy}$. Se ho inteso bene, non va bene purtroppo: il teorema di Schwarz ti assicura che le derivate miste sono uguali. In due variabili, ciò significa $f_{xy} (x,y)=f_{yx} (x,y)$ per ogni $(x,y)$ in ogni insieme in cui $f$ è derivabile con continuità due volte. Quindi, ad esempio, dovresti confrontare $f_{x x y}$ con $f_{x y x}$; o, più in generale, un qualsiasi scambio di due ordini di derivazione "adiacenti" (altro esempio: $f_{(x y) x}$ ed $f_{(y x) x}$, ho messo le parentesi nel pedice solamente per renderti più chiaro lo scambio effettuato). Chiaramente, poi puoi continuare a scambiare ma deve esserci "lo stesso numero di derivazioni rispetto a $x$ e rispetto a $y$" nelle stringhe del pedice. Non so se mi sono spiegato.
Per i messaggi, non ti preoccupare; può capitare, sei nuovo.
Per i messaggi, non ti preoccupare; può capitare, sei nuovo.
Magari sto dicendo una cavolata io e in caso chiedo venia, ma intendevo sempre la derivata terza rispetto a x, solo che una era la derivata destra e una la derivata sinistra (effettivamente non si capiva e ammetto anche che mi sembra un ragionamento un po' forzato).
Cioè, vado a derivare 3 volte rispetto a $x$ la funzione $(xy)^3$ e 3 volte sempre rispetto a $x$ la funzione $(-xy)^3$ e ottengo la derivata terza destra rispetto ad $x$ uguale a $6y$ e la derivata terza sinistra rispetto ad $x$ uguale a $-6y$. Se non erro una funzione per essere derivabile deve essere tale che la derivata destra e la derivata sinistra siano uguali nei punti in cui la funzione di partenza da "problemi", quindi pensavo che magari avendo visto che nel punto $(0,y_0)$ con $y!=0$ le derivate terze sono diverse, potessi dire che la funzione non è derivabile all'infinito e quindi che $f$ non appartiene a $C^infty$.
Cioè, vado a derivare 3 volte rispetto a $x$ la funzione $(xy)^3$ e 3 volte sempre rispetto a $x$ la funzione $(-xy)^3$ e ottengo la derivata terza destra rispetto ad $x$ uguale a $6y$ e la derivata terza sinistra rispetto ad $x$ uguale a $-6y$. Se non erro una funzione per essere derivabile deve essere tale che la derivata destra e la derivata sinistra siano uguali nei punti in cui la funzione di partenza da "problemi", quindi pensavo che magari avendo visto che nel punto $(0,y_0)$ con $y!=0$ le derivate terze sono diverse, potessi dire che la funzione non è derivabile all'infinito e quindi che $f$ non appartiene a $C^infty$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo