Determinare carattere di una serie
Salve ho un problema nel determinare il carattere di questa serie.
$sum_{n =1}^{+\infty} [frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})}]^{1/n}$
Ho provato a svolgerla ma ho molti dubbi a riguardo in quando so che la serie dovrebbe essere divergente e invece quando ho fatto i calcoli a me convergeva verso 0
$sum_{n =1}^{+\infty} [frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})}]^{1/n}$
Ho provato a svolgerla ma ho molti dubbi a riguardo in quando so che la serie dovrebbe essere divergente e invece quando ho fatto i calcoli a me convergeva verso 0
Risposte
Ciao Quasar3.14,
Dai, fai uno sforzo per scrivere correttamente le formule, dando un'occhiata a questo link. Ti assicuro che non è poi così difficile e puoi modificare facilmente il tuo post, possibilmente eliminando quell'immagine...
Anzi guarda, farò di più: ti scrivo io la serie che hai proposto, così puoi semplicemente copiare la formula che ti ho scritto selezionandola col pulsante destro del mouse e scegliendo Show Math As > AsciiMath Input e poi racchiudendola fra due simboli di \$...\$.
$sum_{n =1}^{+\infty} [frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})}]^{1/n}$
Comunque la serie che hai proposto diverge in quanto, posto $a_n := [frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})}]^{1/n}$, si ha $lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \ne 0$, per cui viene a mancare la condizione necessaria per la convergenza di una serie.
Dai, fai uno sforzo per scrivere correttamente le formule, dando un'occhiata a questo link. Ti assicuro che non è poi così difficile e puoi modificare facilmente il tuo post, possibilmente eliminando quell'immagine...
Anzi guarda, farò di più: ti scrivo io la serie che hai proposto, così puoi semplicemente copiare la formula che ti ho scritto selezionandola col pulsante destro del mouse e scegliendo Show Math As > AsciiMath Input e poi racchiudendola fra due simboli di \$...\$.
$sum_{n =1}^{+\infty} [frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})}]^{1/n}$
Comunque la serie che hai proposto diverge in quanto, posto $a_n := [frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})}]^{1/n}$, si ha $lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \ne 0$, per cui viene a mancare la condizione necessaria per la convergenza di una serie.
Grazie pilloeffe, ho modificato il primo post e cercherò d'ora in poi di scrivere con gli strumenti messi a dispozione dal sito. Ti ringrazio per l'aiuto, da poco ho iniziato lo studio delle serie quindi ho ancora diverse difficolta.
Per quanto riguarda l'esercizio proposto vorrei capire come si è giunto al risultato, i vari passaggi, naturalmente scriverò prima i passaggi che ho fatto io (non voglio aprire topic per avere semplicemente la soluzione) in modo da capire dove sbaglio.
$ sum_{n=1}^\infty\ [frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})}]^{1/n} $
$ log(frac{n^3 + 2}{n^3}) -> 0 $ In quanto tra parentesi abbiamo due infinti "uguali" $n^3$ facendo quindi il confronto asintotico il $+2$ è irrilevante. Semplificando quindi tra parentesi abbiamo $1$ e il $ "log{1} = 0$
Stesso risultato ho al numeratore con la tangente di $ 1/n^3 $ che tende a 0. Quindi mi trovo nella forma di indecisione $ 0 / 0$
Dove sto sbagliando ?
Grazie ancora per l'aiuto
Per quanto riguarda l'esercizio proposto vorrei capire come si è giunto al risultato, i vari passaggi, naturalmente scriverò prima i passaggi che ho fatto io (non voglio aprire topic per avere semplicemente la soluzione) in modo da capire dove sbaglio.
$ sum_{n=1}^\infty\ [frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})}]^{1/n} $
$ log(frac{n^3 + 2}{n^3}) -> 0 $ In quanto tra parentesi abbiamo due infinti "uguali" $n^3$ facendo quindi il confronto asintotico il $+2$ è irrilevante. Semplificando quindi tra parentesi abbiamo $1$ e il $ "log{1} = 0$
Stesso risultato ho al numeratore con la tangente di $ 1/n^3 $ che tende a 0. Quindi mi trovo nella forma di indecisione $ 0 / 0$
Dove sto sbagliando ?
Grazie ancora per l'aiuto
Ciao Quasar3.14,
Dunque... Intanto vorrei che ti fosse chiaro che ho semplicemente verificato che la serie che hai proposto non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di una serie, che è $lim_{n \to +\infty} a_n = 0$. Infatti, prendiamo per comodità il solo termine fra le parentesi quadre, lasciando perdere per il momento l'elevamento alla $1/n$; tenendo conto che [tex]\tan(1/n^3) \sim 1/n^3[/tex] per $n to +\infty$, si ha:
$lim_{n \to +\infty} frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})} = lim_{n \to +\infty} frac{1/n^3}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})} = lim_{n \to +\infty} frac{1/n^3}{log(1 + frac{2}{n^3})} = frac{1}{2} frac{2/n^3}{log(1 + frac{2}{n^3})} = frac{1}{2} \cdot 1 = frac{1}{2}$
Quindi si ha:
$lim_{n \to +\infty} a_n = lim_{n \to +\infty} [frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})}]^{1/n} = (frac{1}{2})^0 = 1 \ne 0$
Conclusione: la serie proposta non può convergere in quanto non soddisfa la condizione necessaria di convergenza e dunque, essendo a termini positivi, necessariamente è positivamente divergente.
Dunque... Intanto vorrei che ti fosse chiaro che ho semplicemente verificato che la serie che hai proposto non soddisfa la condizione necessaria di convergenza di una serie, che è $lim_{n \to +\infty} a_n = 0$. Infatti, prendiamo per comodità il solo termine fra le parentesi quadre, lasciando perdere per il momento l'elevamento alla $1/n$; tenendo conto che [tex]\tan(1/n^3) \sim 1/n^3[/tex] per $n to +\infty$, si ha:
$lim_{n \to +\infty} frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})} = lim_{n \to +\infty} frac{1/n^3}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})} = lim_{n \to +\infty} frac{1/n^3}{log(1 + frac{2}{n^3})} = frac{1}{2} frac{2/n^3}{log(1 + frac{2}{n^3})} = frac{1}{2} \cdot 1 = frac{1}{2}$
Quindi si ha:
$lim_{n \to +\infty} a_n = lim_{n \to +\infty} [frac{tan(1/n^3)}{log(frac{n^3 + 2}{n^3})}]^{1/n} = (frac{1}{2})^0 = 1 \ne 0$
Conclusione: la serie proposta non può convergere in quanto non soddisfa la condizione necessaria di convergenza e dunque, essendo a termini positivi, necessariamente è positivamente divergente.
Grazie pilloeffe, sempre gentile, mi sa che devo esercitarmi ancora con le serie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo