Determinare carattere di una serie
Salve, ho un problema con un esercizio. Vorrei sapere se è giusto il ragionamento che ho fatto.
Devo determinare il carattere di una serie con una funzione trigonometrica come termine generale.
La serie è:
$sum_{n=1}^infty arctan((2n)/(3n^2+1))$
Questa serie è asintoticamente uguale a $(2n)/(3n^2+1)$ poichè
$lim_{n \to \infty} (arctan((2n)/(3n^2+1)))/((2n)/(3n^2+1)) = 1$
Questo limite l'ho ottenuto con
$y = (2n)/(3n^2+1), lim_{n \to \infty} y = 0, lim_{y \to \0} arctan(y)/y = 1$
Quindi $sum_{n=1}^infty arctan((2n)/(3n^2+1)) ~= sum_{n=1}^infty (2n)/(3n^2+1)$
Ora confrontando $sum_{n=1}^infty (2n)/(3n^2+1)$ con la serie armonica $1/n$ che è divergente ottengo
$lim_{n \to \infty} ((2n)/(3n^2+1))/(1/n)= lim_{n \to \infty} ((2n^2)/(3n^2+1)) = 2/3$
che essendo finito mi dice che le serie hanno lo stesso carattere. Quindi divergono entrambe.
Devo determinare il carattere di una serie con una funzione trigonometrica come termine generale.
La serie è:
$sum_{n=1}^infty arctan((2n)/(3n^2+1))$
Questa serie è asintoticamente uguale a $(2n)/(3n^2+1)$ poichè
$lim_{n \to \infty} (arctan((2n)/(3n^2+1)))/((2n)/(3n^2+1)) = 1$
Questo limite l'ho ottenuto con
$y = (2n)/(3n^2+1), lim_{n \to \infty} y = 0, lim_{y \to \0} arctan(y)/y = 1$
Quindi $sum_{n=1}^infty arctan((2n)/(3n^2+1)) ~= sum_{n=1}^infty (2n)/(3n^2+1)$
Ora confrontando $sum_{n=1}^infty (2n)/(3n^2+1)$ con la serie armonica $1/n$ che è divergente ottengo
$lim_{n \to \infty} ((2n)/(3n^2+1))/(1/n)= lim_{n \to \infty} ((2n^2)/(3n^2+1)) = 2/3$
che essendo finito mi dice che le serie hanno lo stesso carattere. Quindi divergono entrambe.
Risposte
Sì, è corretto.
ok grazie!
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