Determinare asintoti obliqui tramite sviluppi di Taylor
Buongiorno,
sono nuovo del forum. Frequento il primo anno di informatica e, a volte, ho qualche difficoltà a capire certi passaggi in analisi.
Vorrei, se possibile, avere un informazione sulla risoluzione di un esercizio (come indicato nel titolo del post).
La funzione oggetto dei miei dubbi è la seguente:
il dominio è ($-infty, +infty$), quindi noto che la funzione per \( x\longrightarrow +inf \) è asintotica a $\pi/2*x$ (essendo l'arcotangente tendente a $\pi/2$ per \( x\longrightarrow +inf \)), quindi ha senso verificare se c'è l'asintoto obliquo.
Inizio riscrivendo la funzione raccogliendo il termine dominante all'interno dell'arcotangente. Ma non capisco poi come procedere perchè non ha senso scrivere lo sviluppo di $1+(2/x)$, e avendo la x all'argomento di un arcotangente, non posso neanche usare lo sviluppo al primo ordine di quest'ultima visto che la x -> a +inf.
Non capisco se in questi casi tutto ciò significa semplicemente che l'asintoto obliquo non c'è oppure se devo cercare un altro modo di riscrivere la funzione (anche se non riesco proprio a capire in che altro modo potrei scriverla visto che l'arcotangente non la posso spezzare).
Grazie in anticipo a chi risponderà.
sono nuovo del forum. Frequento il primo anno di informatica e, a volte, ho qualche difficoltà a capire certi passaggi in analisi.
Vorrei, se possibile, avere un informazione sulla risoluzione di un esercizio (come indicato nel titolo del post).
La funzione oggetto dei miei dubbi è la seguente:
$ x*arctan(x+2) $
il dominio è ($-infty, +infty$), quindi noto che la funzione per \( x\longrightarrow +inf \) è asintotica a $\pi/2*x$ (essendo l'arcotangente tendente a $\pi/2$ per \( x\longrightarrow +inf \)), quindi ha senso verificare se c'è l'asintoto obliquo.
Inizio riscrivendo la funzione raccogliendo il termine dominante all'interno dell'arcotangente. Ma non capisco poi come procedere perchè non ha senso scrivere lo sviluppo di $1+(2/x)$, e avendo la x all'argomento di un arcotangente, non posso neanche usare lo sviluppo al primo ordine di quest'ultima visto che la x -> a +inf.
Non capisco se in questi casi tutto ciò significa semplicemente che l'asintoto obliquo non c'è oppure se devo cercare un altro modo di riscrivere la funzione (anche se non riesco proprio a capire in che altro modo potrei scriverla visto che l'arcotangente non la posso spezzare).
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Posso sbagliare ma mi viene da dire che, in un caso come questo, usare sviluppi di Taylor per $x to oo$ sia inappropriato.
Per fare un esempio: la funzione $f(x)=x*(e^(-|x|)+1)$ ammette asintoto obliquo completo (la retta $y=x$), ma se sviluppi l'esponenziale in $x=0$ ottieni qualcosa: $f(x)=x*(2-|x|+1/2x^2-...)" "$ che non ti permette di capire in modo immediato quale sia il suo comportamento per $x to oo$.
Personalmente cercherei le equazioni degli asintoti col solito metodo:
da cui gli asintoti: $y=m_(+-)x+q_(+-)$.
Per fare un esempio: la funzione $f(x)=x*(e^(-|x|)+1)$ ammette asintoto obliquo completo (la retta $y=x$), ma se sviluppi l'esponenziale in $x=0$ ottieni qualcosa: $f(x)=x*(2-|x|+1/2x^2-...)" "$ che non ti permette di capire in modo immediato quale sia il suo comportamento per $x to oo$.
Personalmente cercherei le equazioni degli asintoti col solito metodo:
$m_(+-)=lim_(x to +-oo) (f(x))/x" "$ (se esistono finiti non nulli), $" "q_(+-)=lim_(x to +-oo)[f(x)-mx]" "$ (se esistono finiti)
da cui gli asintoti: $y=m_(+-)x+q_(+-)$.
Anche io preferisco quel metodo, però l'esercizio richiede proprio di utilizzare gli sviluppi di Taylor... Se faccio come dici tu risulta che $\pi/2x$ e l'asintoto obliquo per $x->+\infty$ ma nell'altro modo non so proprio come fare..
Grazie lo stesso!!
Grazie lo stesso!!
Beh, allora puoi sfruttare l'identità: $arctanx=pi/2-arctan(1/x)$ e poi sviluppare il termine $arctan(1/x)$.
In effetti hai ragione.. alla fine era una stupidata.. ma faccio ancora un po' fatica a vedere a occhio come riscrivere le funzioni in questi termini.
In ogni caso ti ringrazio!
In ogni caso ti ringrazio!
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