Determina massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione con valore assoluto
Come da titolo, devo termimare massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione con valore assoluto.
La funzione data è $ f(x)=|x sin(x-1)| $ $ x in [-1, 3/2] $
In teoria so di dover fare la derivata prima, ma non riesco a svolgerla a causa del valore assoluto. Potreste spiegarmi il procedimento? Grazie mille in anticipo ^^
La funzione data è $ f(x)=|x sin(x-1)| $ $ x in [-1, 3/2] $
In teoria so di dover fare la derivata prima, ma non riesco a svolgerla a causa del valore assoluto. Potreste spiegarmi il procedimento? Grazie mille in anticipo ^^
Risposte
benvenuto/a nel forum.
nota che il valore assoluto non riguarda una parte ma tutto l'argomento della funzione. naturalmente puoi studiare il segno di $x sin(x-1)$ e distinguere i due casi, però, se devi solo trovare max e min, puoi tranquillamente trovare la derivata prima di "questa" senza valore assoluto: la $f(x)$ è continua ma non derivabile dove si annulla, ma in corrispondenza di quei punti ha sicuramente "un" minimo; per quanto riguarda gli altri punti è derivabile, e la derivata si annulla (se e) solo se si annulla la derivata di quella senza modulo.
è piuttosto informale, ma spero sia chiaro. ciao. facci sapere.
nota che il valore assoluto non riguarda una parte ma tutto l'argomento della funzione. naturalmente puoi studiare il segno di $x sin(x-1)$ e distinguere i due casi, però, se devi solo trovare max e min, puoi tranquillamente trovare la derivata prima di "questa" senza valore assoluto: la $f(x)$ è continua ma non derivabile dove si annulla, ma in corrispondenza di quei punti ha sicuramente "un" minimo; per quanto riguarda gli altri punti è derivabile, e la derivata si annulla (se e) solo se si annulla la derivata di quella senza modulo.
è piuttosto informale, ma spero sia chiaro. ciao. facci sapere.
Grazie mille per la risposta! Ho cercato di seguire i tuoi consigli calcolando la derivata prima della funzione senza valore assoluto, che mi risulta essere $ f'(x)=xcos(x-1)-sin(x-1) $ a questo punto la pongo uguale a 0 per trovare i punti stazionari, ma non riesco a trovare le soluzioni... Già, ho un paio di lacune 
potresti aiutarmi?
Ah, e un ultima domanda! Se il valore assoluto riguardava solo una parte della funzione come bisognava procedere?
Grazie mille!
potresti aiutarmi?Ah, e un ultima domanda! Se il valore assoluto riguardava solo una parte della funzione come bisognava procedere?
Grazie mille!
non è una equazione elementare; potrei suggerirti di dividere per $cos(x-1)$ e poi confrontare i grafici di $y=x$ e di $y=tan(x-1)$, però c'è da perderci un po' di tempo per trovare una soluzione approssimata.
probabilmente potresti ricavare altre informazioni dalla $f(x)$, considerando che devi considerare un intervallo piuttosto limitato.
per quanto riguarda la domanda specifica sul valore assoluto, nel caso in cui il modulo riguarda solo una parte dell'espressione analitica della funzione, è necessario studiare il segno dell'argomento del modulo e quindi esaminare due casi distinti.
considera i "possibili grafici" di $y=|x|, y=|f(x)|, y=f(|x|)$ come casi particolari, e poi ad una funzione con un modulo, ad esempio $y=f(x)=x/(|2x-1|-3)$ (è inventata sul momento, non vuol essere niente di particolare).
ciao. non aggiungo i miei calcoli sulla derivata che hai scritto tu, perché vado di fretta ed ho ottenuto per sostituzione dei risultati troppo strani...
facci sapere.
probabilmente potresti ricavare altre informazioni dalla $f(x)$, considerando che devi considerare un intervallo piuttosto limitato.
per quanto riguarda la domanda specifica sul valore assoluto, nel caso in cui il modulo riguarda solo una parte dell'espressione analitica della funzione, è necessario studiare il segno dell'argomento del modulo e quindi esaminare due casi distinti.
considera i "possibili grafici" di $y=|x|, y=|f(x)|, y=f(|x|)$ come casi particolari, e poi ad una funzione con un modulo, ad esempio $y=f(x)=x/(|2x-1|-3)$ (è inventata sul momento, non vuol essere niente di particolare).
ciao. non aggiungo i miei calcoli sulla derivata che hai scritto tu, perché vado di fretta ed ho ottenuto per sostituzione dei risultati troppo strani...
facci sapere.
ho provato a rifare i conti ed ho trovato un errore di segno nel tuo calcolo della $f'(x)$. ricontrolla.
Grazie per le dritte sul modulo, vado a esercitarmi 
Mmmmm ho rifatto i calcoli, e effettivamente il risultato sembrerebbe essere $ f'(x)=sin(x-1)+xcos(x-1) $ corretto?
Detto ciò non ho capito come procedere per determinare massimi e minimi
Mmmmm ho rifatto i calcoli, e effettivamente il risultato sembrerebbe essere $ f'(x)=sin(x-1)+xcos(x-1) $ corretto?
Detto ciò non ho capito come procedere per determinare massimi e minimi
ricorda che la funzione è con il valore assoluto, e quindi i minimi sono in $x=0$ e in $x=1$, e che ti interessa $x in [-1;3/2]$.
potresti cercare lo zero della derivata (per il max) con qualche algoritmo iterativo, considerando che se fosse $cos(x-1)=0$ non si annullerebbe l'altro addendo della derivata.
la cosa più "normale" che mi viene in mente è di riprendere il suggerimento precedente, con le dovute variazione per la correzione sulla derivata:
dividere per $cos(x-1)$, e confrontare i grafici $y=-x$ e $y=tan(x-1)$.
prova e facci sapere. ciao
potresti cercare lo zero della derivata (per il max) con qualche algoritmo iterativo, considerando che se fosse $cos(x-1)=0$ non si annullerebbe l'altro addendo della derivata.
la cosa più "normale" che mi viene in mente è di riprendere il suggerimento precedente, con le dovute variazione per la correzione sulla derivata:
dividere per $cos(x-1)$, e confrontare i grafici $y=-x$ e $y=tan(x-1)$.
prova e facci sapere. ciao
Okappa! Capisco che il minimo assoluto si trovi in $ x=0 $ e il massimo assoluto in $ x=1 $ dato che si tratta di una funzione seno considerata solo nella parte positiva... fino a qui ci sono (credo) 
Per trovare quelli relativi invece devo confrontare le due funzioni che dici tu ma.. perchè $ y=-x $ ?
E come faccio a confrontarle?
Grazie per la pazienza da Nobel che stai dimostrando xD
Per trovare quelli relativi invece devo confrontare le due funzioni che dici tu ma.. perchè $ y=-x $ ?
E come faccio a confrontarle?
Grazie per la pazienza da Nobel che stai dimostrando xD
considera che c'è $sin(x-1)$, quindi per $x=1$ si ha $sin(1-1)=sin 0 =0$ min assoluto perché $f(x)>=0 AA x$.
quell'altra cosa viene da
$xcos(x-1)+sin(x-1)=0$, con $cos(x-1) !=0$
$xcos(x-1)/cos(x-1)+sin(x-1)/cos(x-1)=0 ->x+tan(x-1)=0->tan(x-1)= -x$
quell'altra cosa viene da
$xcos(x-1)+sin(x-1)=0$, con $cos(x-1) !=0$
$xcos(x-1)/cos(x-1)+sin(x-1)/cos(x-1)=0 ->x+tan(x-1)=0->tan(x-1)= -x$
Oh yeah! Credo di aver capito (più o meno) come procedere! Ti ringrazio moltissimo 
prego!
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