Determina le radici nesime del numero complesso:ho un dubbio
Determina le radici del numero complesso seguente nel caso \(\displaystyle n=3 \)
\(\displaystyle z = 8i \) devo usare la formula:
\(\displaystyle W_k = \sqrt[n]{|8i|} \)\(\displaystyle (cos\frac{\Theta + 2k\pi}{n} + i sen \frac{\Theta + 2k\pi}{n}) \)
con \(\displaystyle k = 0,1,2 \)
Volevo chiedervi \(\displaystyle |8i| = \sqrt{(8i)^2} \) essendo \(\displaystyle x=0 \) mi riferisco a \(\displaystyle z = \sqrt{x^2 + y^2} \) quindi si eleva al quadrato anche \(\displaystyle i ? \), ergo \(\displaystyle |8i| = \sqrt{(8i)^2} = ? \) oppure \(\displaystyle |8i| = \sqrt{(8)^2} \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle 8 \) che nella formula diventerebbe \(\displaystyle \sqrt[3]{8 } ? \)
Per trovare \(\displaystyle \Theta \) si usa la forumula \(\displaystyle arctg \frac{y}{x} \) se \(\displaystyle x> 0 \) oppure \(\displaystyle arctg \frac{y}{x} + \pi \) se \(\displaystyle x<0 \) in questo caso essendo \(\displaystyle z= x + iy = 8i \) il termine reale \(\displaystyle x \) non è nullo??? Non si potrebbe calcolare...Aiuto!
Grazie
\(\displaystyle z = 8i \) devo usare la formula:
\(\displaystyle W_k = \sqrt[n]{|8i|} \)\(\displaystyle (cos\frac{\Theta + 2k\pi}{n} + i sen \frac{\Theta + 2k\pi}{n}) \)
con \(\displaystyle k = 0,1,2 \)
Volevo chiedervi \(\displaystyle |8i| = \sqrt{(8i)^2} \) essendo \(\displaystyle x=0 \) mi riferisco a \(\displaystyle z = \sqrt{x^2 + y^2} \) quindi si eleva al quadrato anche \(\displaystyle i ? \), ergo \(\displaystyle |8i| = \sqrt{(8i)^2} = ? \) oppure \(\displaystyle |8i| = \sqrt{(8)^2} \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle 8 \) che nella formula diventerebbe \(\displaystyle \sqrt[3]{8 } ? \)
Per trovare \(\displaystyle \Theta \) si usa la forumula \(\displaystyle arctg \frac{y}{x} \) se \(\displaystyle x> 0 \) oppure \(\displaystyle arctg \frac{y}{x} + \pi \) se \(\displaystyle x<0 \) in questo caso essendo \(\displaystyle z= x + iy = 8i \) il termine reale \(\displaystyle x \) non è nullo??? Non si potrebbe calcolare...Aiuto!
Grazie
Risposte
Ciao:
$|8i|=8$ perché $|z|=sqrt(Re{z}^2+Im{z}^2)$. Se $z=x+iy$ si ha $Re{z}=x$ e $Im{z}=y$ (quindi non va la $i$ nel calcolo del modulo). Se la $Re{z}=0$ avresti un'argomento il cui coseno è nullo perciò in questo caso $Theta= pi/2$ se $Im{z}>0$ e $Theta= -pi/2$ (o $=3/2 pi$) se $Im{z}<0$
$|8i|=8$ perché $|z|=sqrt(Re{z}^2+Im{z}^2)$. Se $z=x+iy$ si ha $Re{z}=x$ e $Im{z}=y$ (quindi non va la $i$ nel calcolo del modulo). Se la $Re{z}=0$ avresti un'argomento il cui coseno è nullo perciò in questo caso $Theta= pi/2$ se $Im{z}>0$ e $Theta= -pi/2$ (o $=3/2 pi$) se $Im{z}<0$
Come fai a dire che \(\displaystyle \Theta = \frac{\pi}{2} \) me lo potresti spiegare? La formula che io uso non vale? Però se \(\displaystyle z= 8i \) la parte reale non è \(\displaystyle 0?? \)
la parte reale è $0$ ma la parte immaginaria vale $8$ ($Re{z}$ e $Im{z}$ sono numeri reali) quindi $|z|=sqrt(0^2+8^2)=8$. I numeri complessi possono essere rappresentati nel piano complesso come vettori in cui il modulo è la lunghezza del vettore e l'argomento è l'angolo formato dal vettore con la parte positiva dell'asse delle $x$. E' anche grazie a questa rappresentazione grafica che $Re{z}=|z|cos Theta$ e $Im{z} = |z| sin Theta$. Se $Re{z}=0$ o è $|z|=0$ (e in questo caso avresti semplicemente il numero reale $0$) oppure è $cos Theta = 0$ cioè $ Theta = pi/2$ o $Theta = 3/2 pi$ (e quindi avresti un vettore che ha la stessa direzione dell'asse $y$). Da qui per decidere guardi il segno della parte immaginaria.
Spero di essere stato esaustivo e non averti creato confusione.
Spero di essere stato esaustivo e non averti creato confusione.
Ho capito il discorso teorico. Quindi se volessi trovare la prima radice ho:
\(\displaystyle W_0 = \sqrt[3]{8} cos \frac{\pi}{6} + i sen \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i ? \)
Grazie ancora per la pazienza
PS Ma quando \(\displaystyle x \) è diversa da \(\displaystyle 0 \) uso la formula che ho scitto prima allora?
\(\displaystyle W_0 = \sqrt[3]{8} cos \frac{\pi}{6} + i sen \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i ? \)
Grazie ancora per la pazienza
PS Ma quando \(\displaystyle x \) è diversa da \(\displaystyle 0 \) uso la formula che ho scitto prima allora?
Nel senso che potrei usare l'una o l'altra a mio piacimento? Credo di no...
$W_0=2(sqrt(3)/2+i1/2)=sqrt(3)+i$. La formula $Theta = arctan((Im{z})/(Re{z}))$ si usa in tutti i casi in cui $Re{z} != 0$, quando $Re{z}=0$ si può anche vedere $Theta $ come una situazione limite in cui l'argomento dell' arcotangente è $oo$ e vale $pi/2$, ma è più corretto fare un ragionamento diverso come ti ho illustrato in precedenza.
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