Design di una funzione

[giacomogd2]

Salve a tutti, sto cercando di progettare una funzione che si comporti più o meno così:


(il massimo me lo sono dimenticato ma è 1)

Mi scuso per l'orribile disegno. Comunque il requisito fondamentale è che la funzione sia simmetrica rispetto a $y = 0.5$, e possibilmente le due regioni a sinistra e a destra dovrebbero essere simmetriche rispetto ai punti $(k/2, 0.5)$ e $(1 - k/2, 0.5)$ rispettivamente.

Non senza sforzo sono riuscito a fare questo:
$f(x) = {
(\frac{1}{2}(1 + \sin((\frac{1}{k}x - \frac{1}{2})\pi)), if 0 \leq x \leq k),
(1, if k < x \leq 1 - k),
(\frac{1}{2}(1 + \sin((\frac{1}{k}(x-1) - \frac{1}{2})\pi)), if 1 - k < x \leq 1):}$

Il grafico è questo (per $k = 0.3$):



Qualcuno ha idee più semplici/eleganti e soprattutto più efficienti dal punto di vista computazionale? Grazie.

[vict85]

Quando si studiano le partizioni dell'unità si studiano le seguenti funzioni

\(\displaystyle \alpha(t) = \begin{cases} e^{-1/t} & \text{se } t > 0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases} \)

\(\displaystyle \beta(a,b,t) = \frac{\alpha(b-t)}{\alpha(b-t) + \alpha(t-a)} \)

Questa funzione è \(\displaystyle 1 \) per \(\displaystyle t\le a \) e \(\displaystyle 0 \) per \(\displaystyle t\ge b \) ed è compreso tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \) in \(\displaystyle [a,b] \). Il lato positivo di questa funzione è che è analitica.

Una possibile scelta è porre \(\displaystyle s = \biggl\lvert \frac{1}{2} - t \biggr\rvert \) e usare l'intervallo \(\displaystyle [a,b] = \biggl[\frac{1}{2} - k , \frac{1}{2} \biggr] \) e la funzione \(\displaystyle \beta(a,b,s) \).

Non ho controllato però.