Descrizione matematica di una figura(insieme compatto in R2)
Ho una domanda molto interessante a cui ho cercato di rispondere da solo ma, ahime, le mie facoltà intellettive non sono geniali, per dire un eufemismo, quindi mi rivolgo a chi ne sa più di me.
Posso associare a un equazione qualsiasi $\Gamma(x,y)$ un grafico $\mathcal F$ (cioè un insieme di punti in R^2) così fatto
$\Gamma(x,y)\mapsto \mathcal F$ dove $\mathcal F=\{(x,y) | \Gamma(x,y)\ e'\ vera.\}$
La mia domanda è se è possibile trovare una $\Gamma(x,y)$ che possa rappresentare NON una curva (aperta o chiusa) ma UN INTERA FIGURA, per esempio un quadrato, un cerchio (non una circonferenza ma tutto il cerchio!)
INsomma, è possibile, e se si COME, rappresentare intere porzioni di R2 e non semplici curve con un'equazione?
PS. Ho provato a ""giocare'' cercando di descrivere figure piane come un insieme di punti che stanno sul $\Ker$ o sull'immagine di una determinata applicazione lineare (per esempio da R2 a R2) ma riesco solo a ottenere semipiani o rette, non figure compatte.
Ho preparato un "esempio": prendiamo l'applicazione
$f:R2\mapsto R2$
così definita
$(x,y) \mapsto (tan x,tan y)$
Ebbene, l'immagine di $f|_{[-\pi/2,\pi/2]}$ sembra essere proprio un quadrato. Ma il fatto che abbiamo dovuto considerare una restrizione di f mi lascia un pò insoddisfatto...se consideriamo tutta la f sembra infatti che l'immagine sia tutto il piano, ad eccezione delle rette $x= \alpha \pi/2$ e $y=\alpha \pi/2$, per ogni alfa intero...
Neanche il $\Ker$ mi da molta soddisfazione: quest'ultimo è costituito dal punto 0 (se consideriamo la restrizione) o da tutti i multipli di $2\pi$...insomma, punti isolati..
Posso associare a un equazione qualsiasi $\Gamma(x,y)$ un grafico $\mathcal F$ (cioè un insieme di punti in R^2) così fatto
$\Gamma(x,y)\mapsto \mathcal F$ dove $\mathcal F=\{(x,y) | \Gamma(x,y)\ e'\ vera.\}$
La mia domanda è se è possibile trovare una $\Gamma(x,y)$ che possa rappresentare NON una curva (aperta o chiusa) ma UN INTERA FIGURA, per esempio un quadrato, un cerchio (non una circonferenza ma tutto il cerchio!)
INsomma, è possibile, e se si COME, rappresentare intere porzioni di R2 e non semplici curve con un'equazione?
PS. Ho provato a ""giocare'' cercando di descrivere figure piane come un insieme di punti che stanno sul $\Ker$ o sull'immagine di una determinata applicazione lineare (per esempio da R2 a R2) ma riesco solo a ottenere semipiani o rette, non figure compatte.
Ho preparato un "esempio": prendiamo l'applicazione
$f:R2\mapsto R2$
così definita
$(x,y) \mapsto (tan x,tan y)$
Ebbene, l'immagine di $f|_{[-\pi/2,\pi/2]}$ sembra essere proprio un quadrato. Ma il fatto che abbiamo dovuto considerare una restrizione di f mi lascia un pò insoddisfatto...se consideriamo tutta la f sembra infatti che l'immagine sia tutto il piano, ad eccezione delle rette $x= \alpha \pi/2$ e $y=\alpha \pi/2$, per ogni alfa intero...
Neanche il $\Ker$ mi da molta soddisfazione: quest'ultimo è costituito dal punto 0 (se consideriamo la restrizione) o da tutti i multipli di $2\pi$...insomma, punti isolati..
Risposte
Diciamo che $K\subset\RR^2$ è la tua figura (sottoinsieme chiuso di $\RR^2$).
Se consideri la funzione $f(P) = "dist"(P, K)$, vale a dire la distanza del punto $P$ dall'insieme $K$, allora avrai che
\( \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f(x,y) = 0\}\) è esattamente il tuo insieme $K$.
Se consideri la funzione $f(P) = "dist"(P, K)$, vale a dire la distanza del punto $P$ dall'insieme $K$, allora avrai che
\( \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f(x,y) = 0\}\) è esattamente il tuo insieme $K$.
Ma in questo modo si ottiene non TUTTA la figura, ma solo il contorno...un punto P che è INTERNO alla figura che distanza ha dalla figura stessa?
Mettiamo per esempio di voler descrivere matematicamente un cerchio. Non è possibile trovare un'equazione (non una disequazione, ma proprio un equazione, o magari un applicazione di cui il cerchio è immagine) che mi rappresenta questa "forma"?
Preferisco le equazioni alle disequazioni, perchè se si trovasse, per esempio, l'equazione che rappresenta tutti i punti dello spazio delimitati da una circonferenza, si potrebbero risolvere problemi molto interessanti di carattere "pratico", come, per esempio, "in quale direzione devo lasciar cadere un corpo solido che ha una certa forma (definita dall'equazione) perchè l'attrazione gravitazionale sia massima?" Supponendo uniforme la densità, posso immaginare che devo lasciarla cadere "lungo la faccia" che ha più massa possibile (e quindi più volume possibile)...quindi la "forma" dell'oggetto ha un ruolo determinante in problemi come questo...
Mettiamo per esempio di voler descrivere matematicamente un cerchio. Non è possibile trovare un'equazione (non una disequazione, ma proprio un equazione, o magari un applicazione di cui il cerchio è immagine) che mi rappresenta questa "forma"?
Preferisco le equazioni alle disequazioni, perchè se si trovasse, per esempio, l'equazione che rappresenta tutti i punti dello spazio delimitati da una circonferenza, si potrebbero risolvere problemi molto interessanti di carattere "pratico", come, per esempio, "in quale direzione devo lasciar cadere un corpo solido che ha una certa forma (definita dall'equazione) perchè l'attrazione gravitazionale sia massima?" Supponendo uniforme la densità, posso immaginare che devo lasciarla cadere "lungo la faccia" che ha più massa possibile (e quindi più volume possibile)...quindi la "forma" dell'oggetto ha un ruolo determinante in problemi come questo...
Se vuoi la circonferenza, basta prendere $K$ la circonferenza...
A dire il vero vorrei proprio tutti i punti che stanno dentro la circonferenza, espressi con un equazione della forma $\Gamma(x,y)=c$, con $\Gamma$ un'espressione qualunque in x e y, e c una costante, oppure come immagine o come nucleo di un'applicazione tra ennuple...
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