Descrizione intuitiva di k-forme e applicazioni alternanti
Ciao a tutti,
sto affrontando per la prima volta le forme differenziali da un punto di vista formale, il testo le introduce definendo le applicazioni k-lineari alternanti e definendo poi le forme come applicazioni da $R^n$ a queste.
Ora, non mi servono formule o quant altro perchè le cose le sto già studiando parecchio, ma ho come l impressione che per meglio comprendere tutto questo argomento mi è necessaria ua comprensione più intuitiva. Tanto per capirci, se fino a ieri utilizzavo il Teorema di Stokes, perchè è necessario introdurre le forme in questo modo così cavilloso? cosa rappresentano esattamente le forme?
In particolare mi sono imbattuto in questa proposizione, che non riesco a comprendere appieno, anche se le definizioni sulle forme le so già quasi a memoria:
"una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili."
in che senso un applicazione da $R^n$ allo spazio delle applicazioni multilineari alternanti generalizza il concetto di funzione a più variabili?
Dunque una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili? O meglio, facciamo un esempio:
$f(x,y,z)=2 x^2+3ln(y)$
In che modo questa è una forma? non so se mi spiego ma vorrei capire le cose da un punto di vista più intuitivo...
spero che qualcuno mi possa aiutare...
sto affrontando per la prima volta le forme differenziali da un punto di vista formale, il testo le introduce definendo le applicazioni k-lineari alternanti e definendo poi le forme come applicazioni da $R^n$ a queste.
Ora, non mi servono formule o quant altro perchè le cose le sto già studiando parecchio, ma ho come l impressione che per meglio comprendere tutto questo argomento mi è necessaria ua comprensione più intuitiva. Tanto per capirci, se fino a ieri utilizzavo il Teorema di Stokes, perchè è necessario introdurre le forme in questo modo così cavilloso? cosa rappresentano esattamente le forme?
In particolare mi sono imbattuto in questa proposizione, che non riesco a comprendere appieno, anche se le definizioni sulle forme le so già quasi a memoria:
"una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili."
in che senso un applicazione da $R^n$ allo spazio delle applicazioni multilineari alternanti generalizza il concetto di funzione a più variabili?
Dunque una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili? O meglio, facciamo un esempio:
$f(x,y,z)=2 x^2+3ln(y)$
In che modo questa è una forma? non so se mi spiego ma vorrei capire le cose da un punto di vista più intuitivo...
spero che qualcuno mi possa aiutare...
Risposte
Il link è stato molto utile, grazie.
Ora, vediamo se ho capito, provo a scrivere un pò di cose per mettere giù le cose in chiarezza e poi ho una domanda.
Prendiamo $ omega in Omega^1(RR^3) $ , ovvero $omega$ 1-forma
Se ho ben capito questa $omega$ descrive un' applicazione da $RR^3$ al suo duale, nella fattispecie:
$ omega: RR^3 -> (RR^3)'$
$(x,y,z) -> lambda $
dove
$lambda: RR^3 -> RR$
$(a,b,c) -> ax+by+cz$
Ci siamo? Spero che la notazione sia comprensibile, significa che ogni elemento di $RR^3$ rappresenta in coordinate l' applicazione del duale.
Bene, e ora viene il dubbio...
Prendiamo $ omega in Omega^2(RR^3) $ , ovvero $omega$ 2-forma
Se ho ben capito questa $omega$ descrive un' applicazione da $RR^3$ allo spazio delle applicazioni 2-lineari alternanti.
Quindi:
$ omega: RR^3 -> Lambda^2(RR^3)$
$(x,y,z) -> lambda $
dove
$lambda: RR^3 xx RR^3 -> RR$
Ora non capisco, come x,y,z determinano l immagine di lambda, cioè di una funzione che prende valori in $RR^6$ e va in $RR$?
Ora, vediamo se ho capito, provo a scrivere un pò di cose per mettere giù le cose in chiarezza e poi ho una domanda.
Prendiamo $ omega in Omega^1(RR^3) $ , ovvero $omega$ 1-forma
Se ho ben capito questa $omega$ descrive un' applicazione da $RR^3$ al suo duale, nella fattispecie:
$ omega: RR^3 -> (RR^3)'$
$(x,y,z) -> lambda $
dove
$lambda: RR^3 -> RR$
$(a,b,c) -> ax+by+cz$
Ci siamo? Spero che la notazione sia comprensibile, significa che ogni elemento di $RR^3$ rappresenta in coordinate l' applicazione del duale.
Bene, e ora viene il dubbio...
Prendiamo $ omega in Omega^2(RR^3) $ , ovvero $omega$ 2-forma
Se ho ben capito questa $omega$ descrive un' applicazione da $RR^3$ allo spazio delle applicazioni 2-lineari alternanti.
Quindi:
$ omega: RR^3 -> Lambda^2(RR^3)$
$(x,y,z) -> lambda $
dove
$lambda: RR^3 xx RR^3 -> RR$
Ora non capisco, come x,y,z determinano l immagine di lambda, cioè di una funzione che prende valori in $RR^6$ e va in $RR$?
Okok, questa cosa penso di averla capita.
in sostanza la chiave era caprie il vero significato dei simboli
$dx_1,dx_2,...$
e capire come questi siano una base del duale ecc...
però ora ho un altra cosa, che potrà sembrare anche molto semplice ma è importante..
Domanda: così come la derivata esterna di una forma generalizza la derivata classica e il pull-back rispetto ad una funzione rappresenta un cambio di variabili, cosa rappresenta il prodotto esterno tra forme???
in sostanza la chiave era caprie il vero significato dei simboli
$dx_1,dx_2,...$
e capire come questi siano una base del duale ecc...
però ora ho un altra cosa, che potrà sembrare anche molto semplice ma è importante..
Domanda: così come la derivata esterna di una forma generalizza la derivata classica e il pull-back rispetto ad una funzione rappresenta un cambio di variabili, cosa rappresenta il prodotto esterno tra forme???
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