Descrivere esplicitamente un insieme nei $CC$
Ciao 
non riesco a esplicitare e descrivere tale insieme ${z in CC|z^2 in iRR}$ e non capisco che strategia usare per mostrarlo concretamente.
- Inizialmente ho pensato di scrivere $z=a+i b$ dacui quadrando: $a^2+b^2+i(2ab)$ ho detto beh poniamo $a^2+b^2$ ma da questo ottengo $a=+- i b$ ed è un belproblema perché se è pur vero che ottengo $0+i(2ab)$ ho altresì che $i(2(+- i b)b)$ e mi si leva la "i". Strada poco proficua.
- Ho provato allora a porre $a^2+b^2+i(2ab)=i R$ ossia ho detto provo a rivacarmi un numero R che funzioni, ma avrei ovviamente $i(a^2+b^2)-(2ab)=-R$ ma ho solo spostato il problema da dx a sx nell'uguaglianza
punto a capo.
- Ho pensato allora gemoetricamente e mi pare che dovrei avere i numeri complessi che "stanno sulla bisettrice delI quadrante", questo perché? Beh perché ho pensato che z*z è una rotazione del piano A-G e gli unici numeri che dopo una rotazione di un angolo pari alcomplesso iniziale z, cadono sull'asse y (aka iR), sono quelli sulla bisettrice.
Però non mi convince moltissimo. Qualcuno ha idee più furbe delle mie
Grazie.
non riesco a esplicitare e descrivere tale insieme ${z in CC|z^2 in iRR}$ e non capisco che strategia usare per mostrarlo concretamente.
- Inizialmente ho pensato di scrivere $z=a+i b$ dacui quadrando: $a^2+b^2+i(2ab)$ ho detto beh poniamo $a^2+b^2$ ma da questo ottengo $a=+- i b$ ed è un belproblema perché se è pur vero che ottengo $0+i(2ab)$ ho altresì che $i(2(+- i b)b)$ e mi si leva la "i". Strada poco proficua.
- Ho provato allora a porre $a^2+b^2+i(2ab)=i R$ ossia ho detto provo a rivacarmi un numero R che funzioni, ma avrei ovviamente $i(a^2+b^2)-(2ab)=-R$ ma ho solo spostato il problema da dx a sx nell'uguaglianza
punto a capo.- Ho pensato allora gemoetricamente e mi pare che dovrei avere i numeri complessi che "stanno sulla bisettrice delI quadrante", questo perché? Beh perché ho pensato che z*z è una rotazione del piano A-G e gli unici numeri che dopo una rotazione di un angolo pari alcomplesso iniziale z, cadono sull'asse y (aka iR), sono quelli sulla bisettrice.
Però non mi convince moltissimo. Qualcuno ha idee più furbe delle mie
Grazie.
Risposte
Ciao aritmetico,
Posto $z := a + ib $ e $w := c + i d $, la prima cosa che mi è venuta in mente è la seguente:
$z \cdot w = (a + ib)(c + i d) = (ac - bd) + i(ad + bc) $
Nel caso particolare $w -= z $ si ha:
$z^2 = (a^2 - b^2) + i(ab + ba) $
Ora se $z^2 $ deve essere immaginario puro è necessario che si annulli la sua parte reale, cioè deve essere $b^2 = a^2 $
Posto $z := a + ib $ e $w := c + i d $, la prima cosa che mi è venuta in mente è la seguente:
$z \cdot w = (a + ib)(c + i d) = (ac - bd) + i(ad + bc) $
Nel caso particolare $w -= z $ si ha:
$z^2 = (a^2 - b^2) + i(ab + ba) $
Ora se $z^2 $ deve essere immaginario puro è necessario che si annulli la sua parte reale, cioè deve essere $b^2 = a^2 $
Ma in che senso "definire"?
A occhio sono tutti gli elementi che stanno sulla bisettrice (prova a farlo solo per gli elementi della circonferenza unitaria, dove moltiplicare al quadrato significa semplicemente ruotare dell'angolo iniziale: se sto sulla bisettrice, e ruoto ancora di \( \pi/4 \), vado a finire su \( i\mathbb R \)).
A occhio sono tutti gli elementi che stanno sulla bisettrice (prova a farlo solo per gli elementi della circonferenza unitaria, dove moltiplicare al quadrato significa semplicemente ruotare dell'angolo iniziale: se sto sulla bisettrice, e ruoto ancora di \( \pi/4 \), vado a finire su \( i\mathbb R \)).
"aritmetico":Questo è falso.
ho pensato di scrivere $z=a+i b$ da cui quadrando: $a^2+b^2+i(2ab)$
Vi ringrazio e rispondo a tutti:
@pilloeffe & Martino: è proprio quello che ho fatto anche io nel primo metodo, peccato che come dice martino ho sbagliato il segno e per quello mi trovavo un $a=+-ib$ mentre è $a=+-b$.
@marco2132k: esatto è quello che spigavo a parole nel terzo metodo. Mi torna.
Direi risolto il problema: ricontrollare sempre i segni
@pilloeffe & Martino: è proprio quello che ho fatto anche io nel primo metodo, peccato che come dice martino ho sbagliato il segno e per quello mi trovavo un $a=+-ib$ mentre è $a=+-b$.
@marco2132k: esatto è quello che spigavo a parole nel terzo metodo. Mi torna.
Direi risolto il problema: ricontrollare sempre i segni
"aritmetico":
mi trovavo un $ a =± ib $
Diciamo che già da qui qualche sospetto doveva venirti, perché ovviamente $a$ e $b$ sono numeri reali...
Sì, hai pienamente ragione. Non avevo riflettuto a fondo .
.
@aritmetico: Resta da chiarire un dettaglio fondamentale già osservato da Marco. Non è che non riesci a "definire" un insieme. Stai usando i termini a capocchia (cit. Fioravante Patrone). A lungo andare questa sciatteria ti porterà problemi di sicuro.
"Definire" ha un significato ben preciso in matematica, e non è quello che intendi tu. Tu intendi *esplicitare*, o *calcolare* quell'insieme. Non lo vuoi definire, perché lo hai già definito, nella primissima linea del tuo post.
"Definire" ha un significato ben preciso in matematica, e non è quello che intendi tu. Tu intendi *esplicitare*, o *calcolare* quell'insieme. Non lo vuoi definire, perché lo hai già definito, nella primissima linea del tuo post.
@aritmetico: Resta da chiarire un dettaglio fondamentale già osservato da Marco. Non è che non riesci a "definire" un insieme. Stai usando i termini a capocchia (cit. Fioravante Patrone). A lungo andare questa sciatteria ti porterà problemi di sicuro, quindi conviene puntualizzare.
"Definire" ha un significato ben preciso in matematica, e non è quello che intendi tu. Tu intendi *esplicitare*, o *calcolare* quell'insieme. Non lo vuoi definire, perché lo hai già definito, nella primissima linea del tuo post.
"Definire" ha un significato ben preciso in matematica, e non è quello che intendi tu. Tu intendi *esplicitare*, o *calcolare* quell'insieme. Non lo vuoi definire, perché lo hai già definito, nella primissima linea del tuo post.
@dissonance
Certo che sì, hai ragione. In realtà avevo già notato l'appunto di marco ed ero andato a rivedere cosa chiedeva precisamente l'atricolo e diceva "descrivi in modo esplicito". Io effettivamente ho usato "definire" come fosse per me un sinonimo (nel senso che sono andato a memoria e non ho riletto la dispensa data dal Prof. nel momento in cui ho composto il messaggio di apertura).
Non mi ero accorto di questa che per me era una sottigliezza e vi ringrazio per avermelo fatto notare, perché inconsciamente non me ne ero davvero accorto.
PS: ho corretto l'inesattezza del primo messaggio per futuri usufruitori.
Certo che sì, hai ragione. In realtà avevo già notato l'appunto di marco ed ero andato a rivedere cosa chiedeva precisamente l'atricolo e diceva "descrivi in modo esplicito". Io effettivamente ho usato "definire" come fosse per me un sinonimo (nel senso che sono andato a memoria e non ho riletto la dispensa data dal Prof. nel momento in cui ho composto il messaggio di apertura).
Non mi ero accorto di questa che per me era una sottigliezza e vi ringrazio per avermelo fatto notare, perché inconsciamente non me ne ero davvero accorto.
PS: ho corretto l'inesattezza del primo messaggio per futuri usufruitori.
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