Descrivere analiticamente il dominio d $sqrt(x*(x^2-y^2))$
Buon giorno ragazzi.
Non so più dove sbattere la testa.
Sto cercando di disegnare il dominio della funzione:
$ sqrt(x*(x^2-y^2)) $
Ovviamente so che bisogna mettere a sistema
{$x>0$ intersezione con $x^2>y^2$} il tutto unione con {$x<0$ intersezione con $x^2
Il primo sistema è verificato (risolvendo rispetto alla y) per valori interni, ovvero $y -x$ e $x>0$ (ed è corretto).
Il problema sorge quando risolvo l'altro sistema (sempre rispetto alla y), direi io che è verificato per valori esterni quindi $y>x$ e $y<-x$ e $x<0$ che viene sbagliato!
Non so proprio come uscirne, qualcuno potrebbe darmi una mano?
Ringrazio anticipatamente tutti per l'aiuto!
Non so più dove sbattere la testa.
Sto cercando di disegnare il dominio della funzione:
$ sqrt(x*(x^2-y^2)) $
Ovviamente so che bisogna mettere a sistema
{$x>0$ intersezione con $x^2>y^2$} il tutto unione con {$x<0$ intersezione con $x^2
Il primo sistema è verificato (risolvendo rispetto alla y) per valori interni, ovvero $y
Il problema sorge quando risolvo l'altro sistema (sempre rispetto alla y), direi io che è verificato per valori esterni quindi $y>x$ e $y<-x$ e $x<0$ che viene sbagliato!
Non so proprio come uscirne, qualcuno potrebbe darmi una mano?
Ringrazio anticipatamente tutti per l'aiuto!
Risposte
C'è qualcosa che è poco chiaro?
Qualcosa che devo esprimere meglio, al fine di ricevere aiuto?
Sono pronto a riformulare tutto da capo
Qualcosa che devo esprimere meglio, al fine di ricevere aiuto?
Sono pronto a riformulare tutto da capo
Il problema sta nei "valori esterni": Infatti, note due soluzioni $y_1
Puoi usare anche la stessa tecnica di quando studi il segno di un prodotto.
La regione definita dalla disuguaglianza [tex]$x\geq 0$[/tex] è il semipiano chiuso formato da I e IV quadrante; la regione definita dalla disuguaglianza [tex]$x^2-y^2 \geq 0$[/tex] è fatta dai punti tali che [tex]$|y|\leq |x|$[/tex] ossia [tex]$-|x|\leq y\leq |x|$[/tex], che è la coppia di angoli opposti al vertice delimitati dalle bisettrici e contenenti l'asse [tex]$x$[/tex].
Disegnando il tutto:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; line([0,-4],[0,4]);
text([2,1],"+"); text([2,-1],"+"); text([1,2],"+"); text([1,-2],"+");
text([-2,1],"--"); text([-2,-1],"--"); text([-1,2],"--"); text([-1,-2],"--");
stroke="dodgerblue";
line([-4,-4],[4,4]); line([-4,4],[4,-4]);
text([2.5,1.5],"p"); text([2.5,-1.5],"p"); text([1.5,2.5],"m"); text([1.5,-2.5],"m");
text([-2.5,1.5],"p"); text([-2.5,-1.5],"p"); text([-1.5,2.5],"m"); text([-1.5,-2.5],"m");[/asvg]
ove [tex]$+,-$[/tex] si riferiscono alla regione delimitata dalla prima e [tex]$p=+,m=-$[/tex] alla regione delimitata dalla seconda disuguaglianza.
Al solito, la regola dei segni ti porta a scegliere la regione colorata in fugra:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
fill="lightyellow";
path([[0,0],[4,-4],[4,4]]);
path([[0,0],[-4,4],[0,4]]);
path([[0,0],[-4,-4],[0,-4]]);
stroke="red"; line([0,-4],[0,4]);
stroke="dodgerblue";
line([-4,-4],[4,4]); line([-4,4],[4,-4]);[/asvg]
Quindi il tuo insieme di definizione è:
[tex]$\{ (x,y):\quad \text{$x\geq 0$ e $y\in [-x,x]$ oppure $x\leq 0$ e $|y|\geq -x$} \}$[/tex]
La regione definita dalla disuguaglianza [tex]$x\geq 0$[/tex] è il semipiano chiuso formato da I e IV quadrante; la regione definita dalla disuguaglianza [tex]$x^2-y^2 \geq 0$[/tex] è fatta dai punti tali che [tex]$|y|\leq |x|$[/tex] ossia [tex]$-|x|\leq y\leq |x|$[/tex], che è la coppia di angoli opposti al vertice delimitati dalle bisettrici e contenenti l'asse [tex]$x$[/tex].
Disegnando il tutto:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; line([0,-4],[0,4]);
text([2,1],"+"); text([2,-1],"+"); text([1,2],"+"); text([1,-2],"+");
text([-2,1],"--"); text([-2,-1],"--"); text([-1,2],"--"); text([-1,-2],"--");
stroke="dodgerblue";
line([-4,-4],[4,4]); line([-4,4],[4,-4]);
text([2.5,1.5],"p"); text([2.5,-1.5],"p"); text([1.5,2.5],"m"); text([1.5,-2.5],"m");
text([-2.5,1.5],"p"); text([-2.5,-1.5],"p"); text([-1.5,2.5],"m"); text([-1.5,-2.5],"m");[/asvg]
ove [tex]$+,-$[/tex] si riferiscono alla regione delimitata dalla prima e [tex]$p=+,m=-$[/tex] alla regione delimitata dalla seconda disuguaglianza.
Al solito, la regola dei segni ti porta a scegliere la regione colorata in fugra:
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
fill="lightyellow";
path([[0,0],[4,-4],[4,4]]);
path([[0,0],[-4,4],[0,4]]);
path([[0,0],[-4,-4],[0,-4]]);
stroke="red"; line([0,-4],[0,4]);
stroke="dodgerblue";
line([-4,-4],[4,4]); line([-4,4],[4,-4]);[/asvg]
Quindi il tuo insieme di definizione è:
[tex]$\{ (x,y):\quad \text{$x\geq 0$ e $y\in [-x,x]$ oppure $x\leq 0$ e $|y|\geq -x$} \}$[/tex]
Intanto grazie mille per la risposta!!
$-x$!
Tuttavia qualcosa continua a non tornarmi, ti faccio vedere:
Provo a risolvere $y^2>x^2$
Il primo sistema è:
$y>x$ intersezione con $y< -x$ se $x>0$ E già questo non mi fa spuntare niente nel grafico.
Infatti $y>x$ sarebbe il secondo ottante $y< -x$ l'ottavo.. l'intersezione sarebbe dunque l'insieme vuoto.
L'altro sistema sarebbe:
$y> -x$ intersezione con $y< x$ se $x<0$
ovvero quarto e quinto ottante
Dove sbaglio?
"Relegal":
Ma poichè siamo nel caso $x<0$, chi è "più grande" tra $x$ e $-x$?
$-x$!
Tuttavia qualcosa continua a non tornarmi, ti faccio vedere:
Provo a risolvere $y^2>x^2$
Il primo sistema è:
$y>x$ intersezione con $y< -x$ se $x>0$ E già questo non mi fa spuntare niente nel grafico.
Infatti $y>x$ sarebbe il secondo ottante $y< -x$ l'ottavo.. l'intersezione sarebbe dunque l'insieme vuoto.
L'altro sistema sarebbe:
$y> -x$ intersezione con $y< x$ se $x<0$
ovvero quarto e quinto ottante
Dove sbaglio?
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