Dervate parziali.
Eccomi di nuovo 
..e ancora alle prese con differenziabilità e dintorni. Ho un esercizio che non mi è chiaro:
Scrivere l'equazione del piano tangente la seguente funzione nel punto $(0,1)$:
$f(x,y) ={((y sin(xy+x))/sqrt(x^2 + y^2),if (x, y) != (0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$
Aaaaallora mi sono calcolata le derivate parziali in $(0,1)$ applicando la definizione. Quella rispetto alla $y$ mi viene nulla. Riguardo quella rispetto alla $x$ io ho:
$(delf)/(delx)(0,1) = lim_(h->0)(f(h,1)-f(0,1))/h = lim_(h->0) sin(2h)/(h*sqrt(h^2+1))$
E' corretto fino a qui? Io direi di no visto che a questo punto mi verrebbe un limite che tende ad infinito e sul libro il piano tangente viene $z=2x$. Cosa sbaglio?
Un altro chiarimento di cui necessiterei riguarda il calcolo delle derivate parziali in generale. Ho letto sugli appunti di un mio amico che la prof a lezione avrebbe affermato che se devo calcolare la derivata parziale di una funzione in un punto appartenente ad uno dei due essi cartesiani e so che la funzione lungo gli assi vale identicamente zero, allora posso asserire che le due derivate parziali varranno zero. Non è corretto vero?
..e ancora alle prese con differenziabilità e dintorni. Ho un esercizio che non mi è chiaro:Scrivere l'equazione del piano tangente la seguente funzione nel punto $(0,1)$:
$f(x,y) ={((y sin(xy+x))/sqrt(x^2 + y^2),if (x, y) != (0,0)),(0, if (x,y)=(0,0)):}$
Aaaaallora mi sono calcolata le derivate parziali in $(0,1)$ applicando la definizione. Quella rispetto alla $y$ mi viene nulla. Riguardo quella rispetto alla $x$ io ho:
$(delf)/(delx)(0,1) = lim_(h->0)(f(h,1)-f(0,1))/h = lim_(h->0) sin(2h)/(h*sqrt(h^2+1))$
E' corretto fino a qui? Io direi di no visto che a questo punto mi verrebbe un limite che tende ad infinito e sul libro il piano tangente viene $z=2x$. Cosa sbaglio?
Un altro chiarimento di cui necessiterei riguarda il calcolo delle derivate parziali in generale. Ho letto sugli appunti di un mio amico che la prof a lezione avrebbe affermato che se devo calcolare la derivata parziale di una funzione in un punto appartenente ad uno dei due essi cartesiani e so che la funzione lungo gli assi vale identicamente zero, allora posso asserire che le due derivate parziali varranno zero. Non è corretto vero?
Risposte
al limite hai scritto solo f(h,1) se non sbaglio, quindi dovresti calcolarti anche f(0,1) e poi dividere tutto per h (dentro al limite).
per quello che hai letto sugli appunti, prendi un punto appartenente all'asse x, ad esempio (quindi non necessariamente l'origine, che appartiene anche all'asse y).
la funzione valga 0 lungo gli assi: allora sicuramente lungo l'asse x non hai tassi di crescita/decrescita, essendo la funzione costante lungo tale restrizione. di quello che succede nella direzione parallela all'asse y e passante per il punto, però, non sai niente a priori: la funzione vale 0 sull'asse x e y, non su tutto il piano xy.
tanto per fare un esempio, immagina di stendere un lenzuolo sopra gli assi x e y. prendi un punto su un asse, e ti accorgi che la funzione che ottieni ha una derivata parziale nulla, ma l'altra in generale diversa da 0
per quello che hai letto sugli appunti, prendi un punto appartenente all'asse x, ad esempio (quindi non necessariamente l'origine, che appartiene anche all'asse y).
la funzione valga 0 lungo gli assi: allora sicuramente lungo l'asse x non hai tassi di crescita/decrescita, essendo la funzione costante lungo tale restrizione. di quello che succede nella direzione parallela all'asse y e passante per il punto, però, non sai niente a priori: la funzione vale 0 sull'asse x e y, non su tutto il piano xy.
tanto per fare un esempio, immagina di stendere un lenzuolo sopra gli assi x e y. prendi un punto su un asse, e ti accorgi che la funzione che ottieni ha una derivata parziale nulla, ma l'altra in generale diversa da 0
Ok, ho capito. Grazie mille enr87. Tornando all'esercizio ho omesso f(0,1) perchè viene zero. No?
bo, non ho fatto i conti quindi non so. ma poi hai diviso per h?
a me il limite esce 2, devi usare il limite notevole sen(2h)/2h e poi moltiplicare per 2
L'errore (una svista) è qui:
Manca una $h$ a denominatore e il limite è 2, come deve essere.
P.S. Scusa enr, non avevo visto la tua ultima risposta.
"Lucky91":
$(delf)/(delx)(0,1) = lim_(h->0)(f(h,1)-f(0,1))/h = lim_(h->0) sin(2h)/(sqrt(h^2+1))$
Manca una $h$ a denominatore e il limite è 2, come deve essere.
P.S. Scusa enr, non avevo visto la tua ultima risposta.
Oddio che cretina che sono. Scusa se ti ho fatto perdere tempo!! Non so perchè ma ero convintissima che $sqrt(h^2+1)$ andasse ad infinito quando $h->0$. Mamma mia commme sto!
Grazie mille ad entrambi!! 
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