Derivazione sotto il segno di integrale
Salve a tutti,
sto leggendo una dispensa per chiarirmi i principi alla base della derivazione sotto il segno di integrale (http://www.ccct.altervista.org/fisica/a ... egrale.pdf).
Con riferimento alla dispensa, il teorema 0.2, punto 3), vuole dimostrare che
Sia $f(x,t):A \times [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ continua. Se $\frac{\partial f }{\partial x} (x,t)$ esiste ed è continua per ogni $(x,t) \in A \times (a,b)$ allora $\frac{\partial}{\partial x} \int_y^z f(x,t)dt = \int_y^z \frac{\partial f }{\partial x} (x,t)dt$.
I miei dubbi riguardano le ragioni della dimostrazione proposta e la correttezza formale del mio ragionamento.
Ecco il ragionamento che ho fatto io:
Posto $\phi(x,y,z)=\int_y^z f(x,t)dt$ abbiamo:
$\frac{\partial \phi}{\partial x} (x,y,z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \phi(x+h,y,z) - \phi(x,y,z) }{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\int_y^zfrac{f(x+h,t) - f(x,t)}{h} dt $
Per ogni $(x_0,y_0,z_0) \in A \times (a,b) \times (a,b)$ possiamo restringere $f(x,t)$ ad un intorno compatto del punto considerato, e quindi, dato che $f$ è continua su tutto il dominio per ipotesi, possiamo applicare il teorema di Heine-Cantor concludendo che $f$ è uniformemente continua. Possiamo quindi portare il limite sotto il segno di integrale e concludere la dimostrazione notando che sotto il segno di integrale c'è esattamente $\frac{\partial f}{\partial x}$
I dubbi mi sono venuti perchè la dimostrazione delle dispense si basa (se non ho capito male) sul mostrare che il rapporto incrementale $\frac{\phi(x,y,z)-\phi(x_0,y,z)}{x-x_0}$ converge uniformemente a $\frac{\partial f}{\partial x} (x_0,t) $, cosa che io non ho fatto (e che mi sembra abbastanza più impegnativa).
Mi chiedo quindi se, nel mio ragionamento, ho fatto qualche passaggio non corretto o poco rigoroso.
Grazie
sto leggendo una dispensa per chiarirmi i principi alla base della derivazione sotto il segno di integrale (http://www.ccct.altervista.org/fisica/a ... egrale.pdf).
Con riferimento alla dispensa, il teorema 0.2, punto 3), vuole dimostrare che
Sia $f(x,t):A \times [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ continua. Se $\frac{\partial f }{\partial x} (x,t)$ esiste ed è continua per ogni $(x,t) \in A \times (a,b)$ allora $\frac{\partial}{\partial x} \int_y^z f(x,t)dt = \int_y^z \frac{\partial f }{\partial x} (x,t)dt$.
I miei dubbi riguardano le ragioni della dimostrazione proposta e la correttezza formale del mio ragionamento.
Ecco il ragionamento che ho fatto io:
Posto $\phi(x,y,z)=\int_y^z f(x,t)dt$ abbiamo:
$\frac{\partial \phi}{\partial x} (x,y,z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \phi(x+h,y,z) - \phi(x,y,z) }{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\int_y^zfrac{f(x+h,t) - f(x,t)}{h} dt $
Per ogni $(x_0,y_0,z_0) \in A \times (a,b) \times (a,b)$ possiamo restringere $f(x,t)$ ad un intorno compatto del punto considerato, e quindi, dato che $f$ è continua su tutto il dominio per ipotesi, possiamo applicare il teorema di Heine-Cantor concludendo che $f$ è uniformemente continua. Possiamo quindi portare il limite sotto il segno di integrale e concludere la dimostrazione notando che sotto il segno di integrale c'è esattamente $\frac{\partial f}{\partial x}$
I dubbi mi sono venuti perchè la dimostrazione delle dispense si basa (se non ho capito male) sul mostrare che il rapporto incrementale $\frac{\phi(x,y,z)-\phi(x_0,y,z)}{x-x_0}$ converge uniformemente a $\frac{\partial f}{\partial x} (x_0,t) $, cosa che io non ho fatto (e che mi sembra abbastanza più impegnativa).
Mi chiedo quindi se, nel mio ragionamento, ho fatto qualche passaggio non corretto o poco rigoroso.
Grazie
Risposte
Per portare il limite sotto il segno di integrale devi usare qualche teorema. Ce ne sono tanti, ma immagino tu abbia studiato quello secondo cui si può portare il limite sotto il segno di integrale se il dominio di integrazione è compatto e la convergenza è uniforme. Ora tu dici "$f$ è uniformemente continua", ma non che la convergenza del suo rapporto incrementale è uniforme. Quindi la tua dimostrazione non va, e quella delle dispense probabilmente si.
(Comunque la tua idea di usare la continuità uniforme va bene, ma non devi applicarla a $f$, devi applicarla ad un'altra funzione che è continua per ipotesi. Quell'ipotesi, infatti, è fatta apposta per permetterti di fare questo.)
(Comunque la tua idea di usare la continuità uniforme va bene, ma non devi applicarla a $f$, devi applicarla ad un'altra funzione che è continua per ipotesi. Quell'ipotesi, infatti, è fatta apposta per permetterti di fare questo.)
Certo, hai perfettamente ragione!
A meno di non essere di nuovo affrettato, penso che la mia dimostrazione si possa correggere notando che anche il rapporto incrementale sotto il segno di integrale è continuo, quindi uniformemente continuo (in un opportuno compatto nell'intorno di $[x,x+h] \times [y,z]$) e quindi portare il limite sotto il segno di integrale...
Ho tralasciato di nuovo qualcosa?
A meno di non essere di nuovo affrettato, penso che la mia dimostrazione si possa correggere notando che anche il rapporto incrementale sotto il segno di integrale è continuo, quindi uniformemente continuo (in un opportuno compatto nell'intorno di $[x,x+h] \times [y,z]$) e quindi portare il limite sotto il segno di integrale...
Ho tralasciato di nuovo qualcosa?
No. Non devi dimostrare che qualcosa è "uniformemente continua", ma che un certo limite esiste in modo uniforme. (L'avverbio "uniformemente" compare in tutte e due le cose, ma l'analogia finisce qui). Tu devi mostrare che il rapporto incrementale \(f(x+h, t)-f(x, t)/h\) tende a \(\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\) uniformemente rispetto a \(t\). Come si fa?
Mmm...ok questa differenza non mi è del tutto chiara.
dunque, per definizione una successione ${f_n}$ si dice uniformemente convergente ad $f$ in un intervallo $I$ se \( \forall \epsilon > 0 ~ \exists n_0 \in \mathbb{N} : | f_n(x) - f(x) | < \epsilon~ \forall x \in I \) se $n > n_0$.
Nel nostro caso vogliamo mostrare (se non ho capito male) che la successione \( H_n(x,t) := n( f(x+\frac{1}{n},t) - f(x,t) ) \) (ponendo $h=\frac{1}{n}$) converge a $\partial_x f (x,t):= \frac{\partial f}{\partial x} (x,t)$, cioè, secondo la definizione,
\( \forall \epsilon > 0 ~ \exists n_0 \in \mathbb{N} : | H_n(x,t) - \partial_x f(x,t) | < \epsilon~ \forall t \in I \) se $n > n_0$
E' corretto?
dunque, per definizione una successione ${f_n}$ si dice uniformemente convergente ad $f$ in un intervallo $I$ se \( \forall \epsilon > 0 ~ \exists n_0 \in \mathbb{N} : | f_n(x) - f(x) | < \epsilon~ \forall x \in I \) se $n > n_0$.
Nel nostro caso vogliamo mostrare (se non ho capito male) che la successione \( H_n(x,t) := n( f(x+\frac{1}{n},t) - f(x,t) ) \) (ponendo $h=\frac{1}{n}$) converge a $\partial_x f (x,t):= \frac{\partial f}{\partial x} (x,t)$, cioè, secondo la definizione,
\( \forall \epsilon > 0 ~ \exists n_0 \in \mathbb{N} : | H_n(x,t) - \partial_x f(x,t) | < \epsilon~ \forall t \in I \) se $n > n_0$
E' corretto?
Si. Ma non per forza \(h=1/n\), può anche essere una qualsiasi altra successione che tende a zero. (Non è strettamente necessario passare ad una successione, in realtà. Puoi anche considerare famiglie di funzioni dipendenti da un parametro continuo, in questo caso \(h\). La teoria è identica a quella che sviluppi con le successioni)
Ok.
Ora, consideriamo un opportuno compatto nell'intorno di $x$ interamente contenuto nel dominio. Diciamo $[x-k,x+k]$ per $k$ sufficientemente piccolo. Possiamo sempre farlo perchè $x$ varia in un aperto. Consideriamo quindi il compatto $K:=[x-k,x+k]\times [y,z]$.
Le funzioni $H_n$ sono continue (perché f è continua), quindi uniformemente continue in $K$, quindi possiamo scrivere
\( \forall \epsilon_1 >0~ \exists \delta_1 : \| (x',t') - (x'',t'') \| < \delta_1 \Rightarrow | H_n(x',t')-H_n(x'',y'') | < \epsilon_1 ~~~\forall (x',t'),(x'',t'') \in K \)
$\partial_x f(x,t)$ è continua per ipotesi, quindi allo stesso modo, possiamo scrivere
\( \forall \epsilon_2 >0~ \exists \delta_2 : \| (x',t') - (x'',t'') \| < \delta_2 \Rightarrow | \partial_x f(x',t')-\partial_x f(x'',y'') | < \epsilon_2 ~~~\forall (x',t'),(x'',t'') \in K \)
Inoltre $H_n$ è convergente (puntualmente) a $\partial_x f(x,t)$ (dato che, per ipotesi, la derivata esiste), cioè
\( \forall \epsilon_3 >0~ \exists n_0 \in \mathbb{N} : | H_n(x,t) - \partial_x f(x,t) | < \epsilon_3 ~~~\forall n > n_0 \).
Dobbiamo mostrare che la convergenza è uniforme, cioè che quest'ultima espressione vale per ogni $t\in [y,z]$.
Sia $\hat t : max_{t \in [y,z]} | H_n(x,t)-\partial_x f (x,t) | = |H_n(x, \hat t) - \partial_x f(x, \hat t)|$. Scegliendo $x_1 \in [x-k,x+k] : |x-x_1| < min(\delta_1,\delta_2)$ possiamo scrivere
\( |H_n(x, \hat t) - \partial_x f(x, \hat t) | = |H_n(x, \hat t) - H_n(x_1, t) + H_n(x_1, t) - \partial_x f(x, \hat t)| \le |H_n(x, \hat t) - H_n(x_1, t)| + | H_n(x_1, t) - \partial_x f(x,\hat t)|\)
Per costruzione \( \| (x,\hat t) - (x_1,\hat t)\| = |x-x_1| < \delta_1 \) possiamo sfruttare l'uniforme continuità di $H_n$ e fare la maggiorazione
\( |H_n(x, \hat t) - \partial_x f(x, \hat t) | \le \epsilon_1 + | H_n(x_1, t) - \partial_x f(x,\hat t)| \)
e, procedendo analogamente con $\partial_x f$:
\( |H_n(x_1, \hat t) - \partial_x f(x, \hat t) | \le \epsilon_1 + |H_n(x_1,\hat t) -\partial_x f(x_1,\hat t) + \partial_x f(x_1,\hat t) -\partial_x f(x,\hat t) | \le \epsilon_1 + \epsilon_2 + |H_n(x_1,\hat t) - \partial_x f(x_1,\hat t)| \)
per la convergenza di $H_n$ deve esistere un \( n_0 : | H_n(x_1,\hat t) - \partial_x f(x_1,\hat t) | < \epsilon_3 ~~~\forall n > n_0 \).
L'arbitrarietà di $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3$ dovrebbe condurre alla tesi.
Ho la sensazione che ci sia ancora qualcosa che non va...almeno mi sto avvicinando?
Ora, consideriamo un opportuno compatto nell'intorno di $x$ interamente contenuto nel dominio. Diciamo $[x-k,x+k]$ per $k$ sufficientemente piccolo. Possiamo sempre farlo perchè $x$ varia in un aperto. Consideriamo quindi il compatto $K:=[x-k,x+k]\times [y,z]$.
Le funzioni $H_n$ sono continue (perché f è continua), quindi uniformemente continue in $K$, quindi possiamo scrivere
\( \forall \epsilon_1 >0~ \exists \delta_1 : \| (x',t') - (x'',t'') \| < \delta_1 \Rightarrow | H_n(x',t')-H_n(x'',y'') | < \epsilon_1 ~~~\forall (x',t'),(x'',t'') \in K \)
$\partial_x f(x,t)$ è continua per ipotesi, quindi allo stesso modo, possiamo scrivere
\( \forall \epsilon_2 >0~ \exists \delta_2 : \| (x',t') - (x'',t'') \| < \delta_2 \Rightarrow | \partial_x f(x',t')-\partial_x f(x'',y'') | < \epsilon_2 ~~~\forall (x',t'),(x'',t'') \in K \)
Inoltre $H_n$ è convergente (puntualmente) a $\partial_x f(x,t)$ (dato che, per ipotesi, la derivata esiste), cioè
\( \forall \epsilon_3 >0~ \exists n_0 \in \mathbb{N} : | H_n(x,t) - \partial_x f(x,t) | < \epsilon_3 ~~~\forall n > n_0 \).
Dobbiamo mostrare che la convergenza è uniforme, cioè che quest'ultima espressione vale per ogni $t\in [y,z]$.
Sia $\hat t : max_{t \in [y,z]} | H_n(x,t)-\partial_x f (x,t) | = |H_n(x, \hat t) - \partial_x f(x, \hat t)|$. Scegliendo $x_1 \in [x-k,x+k] : |x-x_1| < min(\delta_1,\delta_2)$ possiamo scrivere
\( |H_n(x, \hat t) - \partial_x f(x, \hat t) | = |H_n(x, \hat t) - H_n(x_1, t) + H_n(x_1, t) - \partial_x f(x, \hat t)| \le |H_n(x, \hat t) - H_n(x_1, t)| + | H_n(x_1, t) - \partial_x f(x,\hat t)|\)
Per costruzione \( \| (x,\hat t) - (x_1,\hat t)\| = |x-x_1| < \delta_1 \) possiamo sfruttare l'uniforme continuità di $H_n$ e fare la maggiorazione
\( |H_n(x, \hat t) - \partial_x f(x, \hat t) | \le \epsilon_1 + | H_n(x_1, t) - \partial_x f(x,\hat t)| \)
e, procedendo analogamente con $\partial_x f$:
\( |H_n(x_1, \hat t) - \partial_x f(x, \hat t) | \le \epsilon_1 + |H_n(x_1,\hat t) -\partial_x f(x_1,\hat t) + \partial_x f(x_1,\hat t) -\partial_x f(x,\hat t) | \le \epsilon_1 + \epsilon_2 + |H_n(x_1,\hat t) - \partial_x f(x_1,\hat t)| \)
per la convergenza di $H_n$ deve esistere un \( n_0 : | H_n(x_1,\hat t) - \partial_x f(x_1,\hat t) | < \epsilon_3 ~~~\forall n > n_0 \).
L'arbitrarietà di $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3$ dovrebbe condurre alla tesi.
Ho la sensazione che ci sia ancora qualcosa che non va...almeno mi sto avvicinando?
In effetti ci sei quasi, in realtà stai dimostrando un teorema più generale, anticamera del teorema di Ascoli-Arzelà. Un errore appare nel punto in cui dici che per ogni \(\epsilon_1\) esiste \(\delta_1\) tale che: come fai a dire che questo \(\delta_1\) è lo stesso per ogni \(n\)? (Questo è vero, ma lo devi dimostrare. Come lo hai detto tu sembra che tale proprietà valga per ogni famiglia di funzioni continue convergente puntualmente, ma questo è falso. Devi usare un po' qualche proprietà del rapporto incrementale).
Quando avrai terminato questa dimostrazione, mettendoci il tassello mancante, ti accorgerai che potevi anche fare molto prima.
Quando avrai terminato questa dimostrazione, mettendoci il tassello mancante, ti accorgerai che potevi anche fare molto prima.
Mi sa che ho bisogno di un aiutino...
Quello che ho pensato è che le $H_n \rightarrow \partial_x f$ per $n \rightarrow \infty$ quindi anche i vari $\delta_{1,n} \rightarrow \delta_2$.
Ora, se $\delta_2 \le \delta_{1,n}$ non ci dovrebbe essere problema, dato che basta scegliere $\delta_2$ al posto di ogni $\delta_{1,n}$. D'altro canto se $\delta_2 > \delta_{1,n}$, facendo il ragionamento inverso basterebbe scegliere $\delta_{1,1}$. In entrambi i casi il ragionamento dovrebbe essere valido solo a patto che i vari $\delta_{1,n}$ siano sempre compresi tra $\delta_{1,1}$ e $\delta_2$.
Intuitivamente mi viene da pensare che sia effettivamente così, ma non saprei bene come dimostrarlo...Ipoteticamente la successione potrebbe avere, per qualche $n$, valori inferiori a $min(\delta_{1,1},\delta_2)$. Si potrebbe scegliere l'\( inf(\delta_{1,n})\) ma ho la sensazione che mi sto arrampicando sugli specchi mentre si potrebbe fare qualche ragionamento più semplice (e più rigoroso).
Quello che ho pensato è che le $H_n \rightarrow \partial_x f$ per $n \rightarrow \infty$ quindi anche i vari $\delta_{1,n} \rightarrow \delta_2$.
Ora, se $\delta_2 \le \delta_{1,n}$ non ci dovrebbe essere problema, dato che basta scegliere $\delta_2$ al posto di ogni $\delta_{1,n}$. D'altro canto se $\delta_2 > \delta_{1,n}$, facendo il ragionamento inverso basterebbe scegliere $\delta_{1,1}$. In entrambi i casi il ragionamento dovrebbe essere valido solo a patto che i vari $\delta_{1,n}$ siano sempre compresi tra $\delta_{1,1}$ e $\delta_2$.
Intuitivamente mi viene da pensare che sia effettivamente così, ma non saprei bene come dimostrarlo...Ipoteticamente la successione potrebbe avere, per qualche $n$, valori inferiori a $min(\delta_{1,1},\delta_2)$. Si potrebbe scegliere l'\( inf(\delta_{1,n})\) ma ho la sensazione che mi sto arrampicando sugli specchi mentre si potrebbe fare qualche ragionamento più semplice (e più rigoroso).
No no no no
Lascia stare ti stai mettendo in un gran casino. Il comportamento dei \(\delta\) di continuità in una successione convergente puo' essere anche molto complicato. Ricordati invece il teorema del valor medio
Lascia stare ti stai mettendo in un gran casino. Il comportamento dei \(\delta\) di continuità in una successione convergente puo' essere anche molto complicato. Ricordati invece il teorema del valor medio
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