Derivazione di un determinante di funzioni derivabili
Buongiorno a tutti!
Devo dimostrare per induzione il seguente risultato:
Siano $f_(i,j) : (a;b)->RR$ delle funzioni derivabili in $x in(a;b)$. Considerato il determinante:
$F(x)=|(f_(1,1), f_(1,2),...,f_(1,n)), (f_(2,1), f_(2,2),...,f_(2,n)), (...,...,...,...), (f_(n,1), f_(n,2),...,f_(n,n))|$,
dimostrare che:
$F'(x)=|(f'_(1,1), f'_(1,2),...,f'_(1,n)), (f_(2,1), f_(2,2),...,f_(2,n)), (...,...,...,...), (f_(n,1), f_(n,2),...,f_(n,n))|+|(f_(1,1), f_(1,2),...,f_(1,n)), (f'_(2,1), f'_(2,2),...,f'_(2,n)), (...,...,...,...), (f_(n,1), f_(n,2),...,f_(n,n))|+...+|(f_(1,1), f_(1,2),...,f_(1,n)), (f_(2,1), f_(2,2),...,f_(2,n)), (...,...,...,...), (f'_(n,1), f'_(n,2),...,f'_(n,n))|$.
La mia idea era dimostrare innanzitutto che la funzione $F(x)$ è continua in $x in(a;b)$ e avrei giustificato tale affermazione come segue: dal momento che il determinante di una matrice quadrata, per definizione, è la somma di tutti i prodotti dedotti, si avrebbe che il determinante è la somma dei prodotti di funzioni derivabili e quindi continue. Ne segue che anch'esso è una funzione continua, nonchè derivabile. Riguardo la dimostrazione per induzione ho verificato la base induttiva per $n=2$ ma il problema risiede nel passo induttivo. Come calcolo il determinante della matrice $(n+1,n+1)$ che ottengo?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Devo dimostrare per induzione il seguente risultato:
Siano $f_(i,j) : (a;b)->RR$ delle funzioni derivabili in $x in(a;b)$. Considerato il determinante:
$F(x)=|(f_(1,1), f_(1,2),...,f_(1,n)), (f_(2,1), f_(2,2),...,f_(2,n)), (...,...,...,...), (f_(n,1), f_(n,2),...,f_(n,n))|$,
dimostrare che:
$F'(x)=|(f'_(1,1), f'_(1,2),...,f'_(1,n)), (f_(2,1), f_(2,2),...,f_(2,n)), (...,...,...,...), (f_(n,1), f_(n,2),...,f_(n,n))|+|(f_(1,1), f_(1,2),...,f_(1,n)), (f'_(2,1), f'_(2,2),...,f'_(2,n)), (...,...,...,...), (f_(n,1), f_(n,2),...,f_(n,n))|+...+|(f_(1,1), f_(1,2),...,f_(1,n)), (f_(2,1), f_(2,2),...,f_(2,n)), (...,...,...,...), (f'_(n,1), f'_(n,2),...,f'_(n,n))|$.
La mia idea era dimostrare innanzitutto che la funzione $F(x)$ è continua in $x in(a;b)$ e avrei giustificato tale affermazione come segue: dal momento che il determinante di una matrice quadrata, per definizione, è la somma di tutti i prodotti dedotti, si avrebbe che il determinante è la somma dei prodotti di funzioni derivabili e quindi continue. Ne segue che anch'esso è una funzione continua, nonchè derivabile. Riguardo la dimostrazione per induzione ho verificato la base induttiva per $n=2$ ma il problema risiede nel passo induttivo. Come calcolo il determinante della matrice $(n+1,n+1)$ che ottengo?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
Potresti usare il teorema che ti consente di scrivere il determinante come somma dei prodotti dedotti dalla matrice (ossia come somma di prodotti di [tex]$n$[/tex] elementi di righe/colonne diverse con segno appropriato), poi derivare la somma ed applicare il teorema all'inverso.
Prova un po'.
Prova un po'.
Sono un po' perplesso... dovrei applicare il teorema che mi hai suggerito alla matrice di ordine $n+1$ che ho ottenuto? In che senso dici "applicare il teorema all'inverso"?
Ovviamente mi riferivo alla formula:
[tex]$\det (f_{i,j}) =\sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma )\ \prod_{i=1}^n f_{i,\sigma (i)}$[/tex]
in cui [tex]$S_n$[/tex] è l'insieme delle permutazioni di [tex]$\{ 1,\ldots ,n\}$[/tex] e [tex]$\text{sgn} (\sigma)$[/tex] (per [tex]$\sigma \in S_n$[/tex]) è la segnatura di [tex]$\sigma$[/tex], ossia [tex]$\text{sgn} (\sigma) =(-1)^{N(\sigma)}$[/tex] ove [tex]$N(\sigma)$[/tex] è il numero d'inversioni in [tex]$\sigma$[/tex].
(Tutta roba che dovresti ben sapere da Algebra Lineare.)
Nel tuo caso è:
[tex]$F^\prime (x) =\left[ \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma )\ \prod_{i=1}^n f_{i,\sigma (i)}(x)\right]^\prime$[/tex]
[tex]$=\sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma )\ \left[ \prod_{i=1}^n f_{i,\sigma (i)} \right]^\prime$[/tex] (linearità della derivata);
ora la derivata di un prodotto si esprime come somma di prodotti:
[tex]$\left[ \prod_{i=1}^n f_{i,\sigma (i)} \right]^\prime =\sum_{i=1}^n f_{i,\sigma (i)}^\prime (x)\ \prod_{j\neq i} f_{j,\sigma (j)} (x)$[/tex],
sicché sostituendo e scambiando gli ordini delle sommatorie:
[tex]$F^\prime (x)= \sum_{i=1}^n \left\{ \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma )\ f_{i,\sigma (i)}^\prime (x)\ \prod_{j\neq i} f_{j,\sigma (j)} (x)\right\}$[/tex].
Il termine tra parentesi graffe, se non erro, è proprio il determinante della matrice che si ottiene da [tex]$(f_{i,j})$[/tex] derivando la [tex]$i$[/tex]-esima riga (questa è l'applicazione inversa che intendevo...), ergo la formula precedente è la tua tesi.
[tex]$\det (f_{i,j}) =\sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma )\ \prod_{i=1}^n f_{i,\sigma (i)}$[/tex]
in cui [tex]$S_n$[/tex] è l'insieme delle permutazioni di [tex]$\{ 1,\ldots ,n\}$[/tex] e [tex]$\text{sgn} (\sigma)$[/tex] (per [tex]$\sigma \in S_n$[/tex]) è la segnatura di [tex]$\sigma$[/tex], ossia [tex]$\text{sgn} (\sigma) =(-1)^{N(\sigma)}$[/tex] ove [tex]$N(\sigma)$[/tex] è il numero d'inversioni in [tex]$\sigma$[/tex].
(Tutta roba che dovresti ben sapere da Algebra Lineare.)
Nel tuo caso è:
[tex]$F^\prime (x) =\left[ \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma )\ \prod_{i=1}^n f_{i,\sigma (i)}(x)\right]^\prime$[/tex]
[tex]$=\sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma )\ \left[ \prod_{i=1}^n f_{i,\sigma (i)} \right]^\prime$[/tex] (linearità della derivata);
ora la derivata di un prodotto si esprime come somma di prodotti:
[tex]$\left[ \prod_{i=1}^n f_{i,\sigma (i)} \right]^\prime =\sum_{i=1}^n f_{i,\sigma (i)}^\prime (x)\ \prod_{j\neq i} f_{j,\sigma (j)} (x)$[/tex],
sicché sostituendo e scambiando gli ordini delle sommatorie:
[tex]$F^\prime (x)= \sum_{i=1}^n \left\{ \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn} (\sigma )\ f_{i,\sigma (i)}^\prime (x)\ \prod_{j\neq i} f_{j,\sigma (j)} (x)\right\}$[/tex].
Il termine tra parentesi graffe, se non erro, è proprio il determinante della matrice che si ottiene da [tex]$(f_{i,j})$[/tex] derivando la [tex]$i$[/tex]-esima riga (questa è l'applicazione inversa che intendevo...), ergo la formula precedente è la tua tesi.
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