Derivazione di funzioni composte - Errore nella dimostrazione del libro (?)

[Plepp]

Alla ricerca di una dimostrazione meno macchinosa (di quella data dal Prof), ho cercato il Teorema di derivazione della composizione di funzioni su Acerbi, Buttazzo - Primo corso di Analisi matematica:

Teorema. Sia $f$ derivabile in $x_0$ e sia $g$ derivabile in $y_0:=f(x_0)$ e tale che $x_0$ sia di accumulazione per $\text{dom}\ (g\circ f)$. Allora $g\circ f$ è derivabile in $x_0$ e si ha
\[(g\circ f)'(x_0)=(g'\circ f)(x_0)\cdot f'(x_0)\]

La dimostrazione è questa:

Per la derivabilità di $f$ in $x_0$ si ha
\[f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)\]
Per la derivabilità di $g$ in $y_0$ invece è
\[g(y)-g(y_0)=g'(y_0)(y-y_0)+o(y-y_0)\]
Allora
\[g(f(x))-g(f(x_0))=g'(f(x_0))(f(x)-f(x_0))+o(f(x)-f(x_0))\tag{!!!}\]
[...]

Il fatto di parlare di o-piccolo di $f(x)-f(x_0)$ presuppone di sapere che la quantità $f(x)-f(x_0)$ è non nulla intorno a $x_0$, ovvero che $f(x)$ assuma valore diverso da $f(x_0)$ in un intorno di $x_0$ (cosa che non mi pare essere implicata da alcunché).

Ok, potremmo metterlo tra le ipotesi, ma non è abbastanza restrittivo? Ci toccherebbe poi dimostrare il teorema nel caso in cui la quantità $f(x)-f(x_0)$ sia "frequentemente" nulla intorno a $x_0$ (cioè nel caso in cui in ogni intorno* di $x_0$ ci sia almeno un punto $x$ per cui $f(x)-f(x_0)=0$).

Dico bene o mi sta sfuggendo qualcosa? ._.

[size=85]______________________________
*meglio: nell'intersezione dell'intorno e del dominio di $g\circ f$... [/size]

[Rigel1]

"Plepp":
Il fatto di parlare di o-piccolo di $f(x)-f(x_0)$ presuppone di sapere che la quantità $f(x)-f(x_0)$ è non nulla intorno a $x_0$, ovvero che $f(x)$ assuma valore diverso da $f(x_0)$ in un intorno di $x_0$ (cosa che non mi pare essere implicata da alcunché).

Perché? Se guardi la definizione data nel tutorial di gugo questa richiesta non compare.

[Plepp]

La definizione di Gugo è più generale (suppongo sia comodo darla in quel modo per sfruttare il concetto di o-piccolo anche in spazi metrici o spazi topologici, giusto?); quella che dà il libro (e che sono abituato ad usare) è:

siano $f,g$ due funzioni infinitesime in $x_0$, con $g(x)\ne 0$ in un intorno di $x_0$ [...] si dice che $f$ è un o-piccolo di $g$ per $x\to x_0$ se
\[f(x)/g(x)\to 0\qquad \text{per}\ x\to x_0\]

Se lui dà questa definizione, si presuppone che continui ad usare questa nel testo

[Rigel1]

"Plepp":
Se lui dà questa definizione, si presuppone che continui ad usare questa nel testo

Presupponi male
Puoi usare questa definizione molto simile: anziché richiedere che \(f(x)/ g(x) \to 0\) quando \(x\to x_0\), richiedi che \(f(x) = \omega(x) g(x)\) con \(\omega(x) \to 0\) per \(x\to x_0\). Se \(g\neq 0\) per \(x\neq x_0\) le due definizioni, ovviamente, coincidono.

[Plepp]

Come presuppongo male? Se uno dà una definizione in un certo modo, dovrebbe continuare ad usare tale definizione nel resto della trattazione; quantomeno dovrebbe avvertire, se "cambia idea"...

"Rigel":
Puoi usare questa definizione molto simile: anziché richiedere che \(f(x)/ g(x) \to 0\) quando \(x\to x_0\), richiedi che \(f(x) = \omega(x) g(x)\) con \(\omega(x) \to 0\) per \(x\to x_0\). Se \(g\neq 0\) per \(x\neq x_0\) le due definizioni, ovviamente, coincidono.

Very good Che poi dovrebbe essere equivalente alla definizione che usa Gugo, right?

[Rigel1]

Sì.

[Plepp]

Grazie Rigel