Derivazione di doppio integrale
Ciao a tutti. Ho un problema a risolvere questo esercizio:
Si ponga $ f(x) = int_(2x)^(x)int_(0)^(2t) e^(s^2) ds dt $
Si calcoli $ f'(x) , f''(x) , f''' (x) $
Dato che $ e^(s^2) $ non è integrabile in forma semplice, ho pensato di unire i due integrali e dopo usare la seguente formula:
$ int_(f(x))^(g(x)) h(x) = g'(x)h(g(x)) - f'(x)h(f(x)) $
Sapete se è possibile unire i due integrali con qualche formula? Altre vie da percorrere?
Grazie!
Si ponga $ f(x) = int_(2x)^(x)int_(0)^(2t) e^(s^2) ds dt $
Si calcoli $ f'(x) , f''(x) , f''' (x) $
Dato che $ e^(s^2) $ non è integrabile in forma semplice, ho pensato di unire i due integrali e dopo usare la seguente formula:
$ int_(f(x))^(g(x)) h(x) = g'(x)h(g(x)) - f'(x)h(f(x)) $
Sapete se è possibile unire i due integrali con qualche formula? Altre vie da percorrere?
Grazie!
Risposte
un piccolo up
Ciao.
Non so se hai presente il teorema di derivazione di funzioni definite tramite integrali:
se $alpha:A sube RR^n \to RR, beta:A sube RR^n \to RR$ sono due funzioni $C^1(A)$ e $f:AxRR \to RR$ è $C^1(AxRR)$, allora posto
$Phi(x):=int_{alpha(x)}^{beta(x)}f(x, t)dt$, si ha
$(delPhi)/(delx_i)(x)=(delbeta)/(delx_i)(x)f(x, beta(x))-(delalpha)/(delx_i)(x)f(x, alpha(x))+int_{alpha(x)}^{beta(x)}(delf)/(delx_i)(x, t)dt$.
Un po' pesante, ma dovrebbe fare al caso tuo.
Nel tuo caso, $alpha(x)=2x; beta(x)=x; f(x, t)=int_{0}^{2t}e^(s^2)ds$.
Spero di esserti stato d'aiuto. Fammi sapere
Non so se hai presente il teorema di derivazione di funzioni definite tramite integrali:
se $alpha:A sube RR^n \to RR, beta:A sube RR^n \to RR$ sono due funzioni $C^1(A)$ e $f:AxRR \to RR$ è $C^1(AxRR)$, allora posto
$Phi(x):=int_{alpha(x)}^{beta(x)}f(x, t)dt$, si ha
$(delPhi)/(delx_i)(x)=(delbeta)/(delx_i)(x)f(x, beta(x))-(delalpha)/(delx_i)(x)f(x, alpha(x))+int_{alpha(x)}^{beta(x)}(delf)/(delx_i)(x, t)dt$.
Un po' pesante, ma dovrebbe fare al caso tuo.
Nel tuo caso, $alpha(x)=2x; beta(x)=x; f(x, t)=int_{0}^{2t}e^(s^2)ds$.
Spero di esserti stato d'aiuto. Fammi sapere
Ciao, grazie per la risposta. Sinceramente non ho presente quel teorema e non ho capito bene come funziona: ti posso chiedere cortesemente di risolvermi l'esercizio che ti ho proposto così vedo se riesco a capire? Grazie mille
Io ho fatto così:
$ f'(x)=1int_(0)^(2x) e^(s^2)ds - 2int_(0)^(4x) e^(s^2)ds $
$ f'(x)=1int_(0)^(2x) e^(s^2)ds - 2int_(0)^(4x) e^(s^2)ds $
"Analisirm":
Ciao a tutti. Ho un problema a risolvere questo esercizio:
Si ponga $ f(x) = int_(2x)^(x)int_(0)^(2t) e^(s^2) ds dt $
Si calcoli $ f'(x) , f''(x) , f''' (x) $
Dato che $ e^(s^2) $ non è integrabile in forma semplice, ho pensato di unire i due integrali e dopo usare la seguente formula:
$ int_(f(x))^(g(x)) h(x) = g'(x)h(g(x)) - f'(x)h(f(x)) $
Sapete se è possibile unire i due integrali con qualche formula? Altre vie da percorrere?
Non è possibile ridurre i due integrali ad uno solo.
Quello che devi fare è seguire uno schema del genere: la tua funzione iniziale è nella forma:
[tex]$\int_{\alpha (x)}^{\beta (x)} F(t)\ \text{d} t$[/tex] con [tex]$F(t)=\int_0^{\gamma (t)} f(s)\ \text{d} s$[/tex],
ergo basta applicare un po' di volte il teorema fondamentale del calcolo integrale e quello di derivazione della funzione composta per calcolare ciò che ti serve.
"Analisirm":
Io ho fatto così:
$ f'(x)=1int_(0)^(2x) e^(s^2)ds - 2int_(0)^(4x) e^(s^2)ds $
OK.
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