Derivazione del logaritmo

[Bemipefe]

Allora.

Mi trovo a studiare le funzioni esponeziali $exp_e$, $exp_a$ e le loro inverse $log_e$ , $log_a$.
Non sono purtroppo riuscito a comprendere la derivazione di queste funzioni.

Innanzi tutto:

1 - Come si arriva a dire che $D'(e^x) = e^x$ ?

[fireball1]

Fai il limite del rapporto incrementale:
$lim_(h->0) (e^(x+h)-e^x)/h = lim_(h->0) (e^x*e^h-e^x)/h=e^xlim_(h->0)(e^h-1)/h = e^x$
in quanto il limite di $(e^h-1)/h$ è un limite notevole e vale 1.

[vl4dster]

per il logaritmo invece:

$lim_{h->0}(ln(x+h)-ln(x))/h = lim_{h->0}ln((x+h)/(x))/h = lim_{h->0}ln(1+h/x)/(xh/x) = 1/x$ per il limite notevole che deriva dalla definizione di $e$

se il logaritmo e' in base $a$ puoi usare la prorieta' del cambio di base e ottieni comunque $1/(x*log_{e}(a))$

[carlo232]

"vl4d":per il logaritmo invece:

$lim_{h->0}(ln(x+h)-ln(x))/h = lim_{h->0}ln((x+h)/(x))/h = lim_{h->0}ln(1+h/x)/(xh/x) = 1/x$ per il limite notevole che deriva dalla definizione di $e$

se il logaritmo e' in base $a$ puoi usare la prorieta' del cambio di base e ottieni comunque $1/(x*log_{e}(a))$

Oppure se $f(x)=ln(x)$ abbiamo $d/(dx) f(e^x)=d/(dx) x =1=e^x f'(e^x)$ da cui $f'(e^x)=1/(e^x)$ e $f'(x)=1/x$, qui invece abbiamo usato la derivata di funzione di funzione.

Ciao Ciao

[Bemipefe]

Grazie 10.000/10 !

Se ho qualche dubbio posto .

[Bemipefe]

Fai il limite del rapporto incrementale:
$lim_(h->0) (e^(x+h)-e^x)/h = lim_(h->0) (e^x*e^h-e^x)/h=e^x

Cioè mi stai dicendo che :

$lim_(h->0) (e^h-e^x)/h=1$ e quindi $lim_(h->0) e^x * (e^h-e^x)/h=e^x$

...ma il limite notevole hai detto che è $lim_(h->0) (e^h-1)/h = 1$

[giacor86]

no sbagli. leggi bene quello che hanno scritto
$e^x$ è stato raccolto e portato fuori dal limitie e rimane solo il limite notevole.

[Bemipefe]

Allora perchè non avete scritto da subito :

$lim_(h->0) (e^(x+h)-e^x)/h = lim_(h->0) (e^x*e^h-e^x)/h= lim_(h->0)(e^x ((e^x*e^h)/(e^x) -1 ) )/h = lim_(h->0) e^x ( e^x -1 )/h = e^x *1 = e^x$

....a volte vengono assunte troppe cose. Anche nei libri le dimostrazioni sono cortissime (quando ci sono) , e in questo modo si perde tempo ad estrarre informazioni da quelle 2 o 3 formule "zippate", invece di capire la vera natura dell'oggeto in esame.

Che vi devo dire a me piacciono le cose complesse, magari lunghe ma che non siano criptiche.

[Bemipefe]

E ' invece ....

$D'(a^x) = a^x*log_e(a)$

...per quale motivo ?

[giacor86]

guarda che bemipefe, se rileggi bene ti accorgi che è stato sritto tutto esplicito da subito. per il ln la roba era simile ma si usava il limite notevole del logaritmo.....

[Bemipefe]

Si....ok ok.
E' stato detto tutto. (io avevo fatto solo una piccola osservazione sulla 'precisione' con cui era stata presentata la dimostrazione)

Vorrei ora capire come mai....

$D'(a^x) = a^x*log_e(a)$

GRAZIE .....ah comunque domani tenterò di nuovo di passare Calcolo I ...... speriamo di non andare sotto zero come punteggio

[irenze]

"Bemipefe":Vorrei ora capire come mai....

$D'(a^x) = a^x*log_e(a)$

Semplice:
scrivi
$a^x=e^{x \ln(a)}$
e applica la formula di derivazione delle funzioni composte:
$D(a^x)=D(e^{x \ln(a)})=e^{x \ln a}*D(x \ln(a))=e^{x \ln(a)}*\ln(a)=a^x*\ln(a)$

[Bemipefe]

Grazie Irene !

Era più facile di quanto pensassi.....