Derivazione composta, differenziali.
Sto cercando di capire un esercizio che non mi da' pace.
Si vuole definire
[tex]d^2y \over dx^2[/tex]
di una funzione
[tex]f(x, y) = 0[/tex]
operando tramite le derivate di [tex]f(x, y)[/tex]
Il risultato del libro:
[tex]{d^2y \over dx^2} = {-1 \over f_y^3 } (f_{xx} f_y^2 - 2f_{xy}f_x f_y + f_{yy}f_x^2)[/tex]
Ora, quello che ho inteso io e' che abbiamo una funzione in x e y che uguagliamo a zero.
Sul piano xy si delinea una curva che sarebbe il luogo dove la [tex]f(x, y) = 0[/tex] e' zero.
Calcolando le derivate parziali di [tex]f(x, y) = 0[/tex]
[tex]f_x dx + f_y dy = 0[/tex]
da cui ricavo che
[tex]{dy \over dx } = -{ f_x \over f_y}[/tex]
Fin qui e' plausibile, immaginando di essere su una curva di livello della f(x,y), mi devo muovere in direzione normale al gradiente.
Poi arriva il quibus, e non riesco piu' a immaginare cosa succede alle derivate.
Quello che posso fare e' derivare di nuovo entrambi i membri rispetto a x, trattando il membro a destra come un rapporto.
Ottengo
[tex]{d^2y \over dx^2} = - {(f_{xx} f_y - f_{yy}f_x) \over f_y^2 }[/tex]
ma non e' il risultato del libro, anche se posso dire che " ci si avvicina"
Nel risultato corretto viene fuori anche una derivata mista rispetto xy, ma non capisco cosa la giustifichi.
Di sicuro sbaglio la derivazione seconda di [tex]f_x[/tex] e [tex]f_y[/tex] .
C'e' qualcosa che mi sfugge...
Si vuole definire
[tex]d^2y \over dx^2[/tex]
di una funzione
[tex]f(x, y) = 0[/tex]
operando tramite le derivate di [tex]f(x, y)[/tex]
Il risultato del libro:
[tex]{d^2y \over dx^2} = {-1 \over f_y^3 } (f_{xx} f_y^2 - 2f_{xy}f_x f_y + f_{yy}f_x^2)[/tex]
Ora, quello che ho inteso io e' che abbiamo una funzione in x e y che uguagliamo a zero.
Sul piano xy si delinea una curva che sarebbe il luogo dove la [tex]f(x, y) = 0[/tex] e' zero.
Calcolando le derivate parziali di [tex]f(x, y) = 0[/tex]
[tex]f_x dx + f_y dy = 0[/tex]
da cui ricavo che
[tex]{dy \over dx } = -{ f_x \over f_y}[/tex]
Fin qui e' plausibile, immaginando di essere su una curva di livello della f(x,y), mi devo muovere in direzione normale al gradiente.
Poi arriva il quibus, e non riesco piu' a immaginare cosa succede alle derivate.
Quello che posso fare e' derivare di nuovo entrambi i membri rispetto a x, trattando il membro a destra come un rapporto.
Ottengo
[tex]{d^2y \over dx^2} = - {(f_{xx} f_y - f_{yy}f_x) \over f_y^2 }[/tex]
ma non e' il risultato del libro, anche se posso dire che " ci si avvicina"
Nel risultato corretto viene fuori anche una derivata mista rispetto xy, ma non capisco cosa la giustifichi.
Di sicuro sbaglio la derivazione seconda di [tex]f_x[/tex] e [tex]f_y[/tex] .
C'e' qualcosa che mi sfugge...
Risposte
"Quinzio":
Sto cercando di capire un esercizio che non mi da' pace.
Si vuole definire
[tex]d^2y \over dx^2[/tex]
di una funzione
[tex]f(x, y) = 0[/tex]
operando tramite le derivate di [tex]f(x, y)[/tex]
Il risultato del libro:
[tex]{d^2y \over dx^2} = {-1 \over f_y^2 } (f_{xx} f_y^2 - 2f_{xy}f_x f_y + f_{yy}f_x^2)[/tex]
Ora, quello che ho inteso io e' che abbiamo una funzione in x e y che uguagliamo a zero.
Sul piano xy si delinea una curva che sarebbe il luogo dove la [tex]f(x, y) = 0[/tex] e' zero.
Calcolando le derivate parziali di [tex]f(x, y) = 0[/tex]
[tex]f_x dx + f_y dy = 0[/tex]
da cui ricavo che
[tex]{dy \over dx } = -{ f_x \over f_y}[/tex]
Fin qui e' plausibile, immaginando di essere su una curva di livello della f(x,y), mi devo muovere in direzione normale al gradiente.
Poi arriva il quibus, e non riesco piu' a immaginare cosa succede alle derivate.
Quello che posso fare e' derivare di nuovo entrambi i membri rispetto a x, trattando il membro a destra come un rapporto.
Ottengo
[tex]{d^2y \over dx^2} = - {(f_{xx} f_y - f_{yy}f_x) \over f_y^2 }[/tex]
ma non e' il risultato del libro, anche se posso dire che " ci si avvicina"
Nel risultato corretto viene fuori anche una derivata mista rispetto xy, ma non capisco cosa la giustifichi.
Di sicuro sbaglio la derivazione seconda di [tex]f_x[/tex] e [tex]f_y[/tex] .
C'e' qualcosa che mi sfugge...
[size=150]Ho trovato !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!![/size]
Ho capito, mentre ero sotto la doccia !!!!!!!! Dopo 3/4 d'ora che ci pensavo !!!!
(Un po' come successe ad Archimede... (che immodestia)).
Allora, seguitemi.
[tex]f_x[/tex] e [tex]f_y[/tex] vanno trattate come due banalissime funzioni, di cui si ignora ogni caratteristica, indi vanno derivate con la massima cautela.
In piu', entrambe le bestiacce sono funzioni sia di x che di y, per cui vanno derivate come funzioni di piu' variabili.
Il loro differenziale e' quanto segue:
[tex]d(f_x) = f_{xx} dx + f_{xy} dy[/tex]
e
[tex]d(f_y) = f_{yx} dx + f_{yy} dy[/tex]
Per cui riprendendo l'equazione
[tex]{dy \over dx } = -{ f_x \over f_y}[/tex]
Se calcolo il differenziale di questo "oggetto" senza sapere nulla su cosa sia
[tex]d({dy \over dx }) = -{d(f_x)f_y - d(f_y)fx \over f_y^2}[/tex]
Bene, sostituire [tex]d(f_x)[/tex] e [tex]d(f_y)[/tex]
con cio' che e' stato trovato prima...
[tex]d({dy \over dx }) = - {1 \over f_y^2} ({d( f_{xx} dx + f_{xy} dy)f_y - d( f_{yx} dx + f_{yy} dy)fx }[/tex])
Quindi..... dividere a destra e sinistra per [tex]dx[/tex] !!!!!!!!!!!!!!!
Mi spaventa abbastanza manipolare i dx e i dy cosi' come fossero oggettini innocui, ma se la matematica ha un senso, deve poter consentire di fare operazioni "alla cieca".
[tex]{d^2y \over dx^2 } = - {1 \over f_y^2} ({( f_{xx} + f_{xy} {dy \over dx})f_y - ( f_{yx} + f_{yy} {dy \over dx})f_x) }[/tex]
Fino a qui avevo provato anche prima, la cosa che non avevo capito e' che posso riutilizzare il [tex]{dy \over dx } = -{ f_x \over f_y}[/tex] trovato prima.
Per cui, sostiuendo [tex]{dy \over dx }[/tex]
ottengo
[tex]{d^2y \over dx^2 } = - {1 \over f_y^2} ({( f_{xx} + f_{xy} {-{ f_x \over f_y} })f_y - ( f_{yx} + f_{yy} {-{ f_x \over f_y} })f_x) }[/tex]
Con semplici manipolazioni algebriche si ottiene il risultato voluto, cioe':
[tex]{d^2y \over dx^2 } = - {1 \over f_y^3} ({( f_{xx} f_y^2 -2 f_{xy}f_x f_y + f_{yy} f_x^2) }[/tex]
La cosa mi sembra un po' cervellotica e ostica, pero' come tutto quello che segue da passaggi logici, deve essere corretto.
Quello che non capivo e' che si puo' riutilizzare [tex]dy \over dx[/tex] come delle semplici variabili poter manipolare.
Non e' proprio che sia cosi' intuitivo.
Va beh, mi sa che d'ora in poi consumero' un po' di acqua sotto la doccia. Se tutte le volte che la faccio mi esce dalla testa il risultato......
"Quinzio":
Sto cercando di capire un esercizio che non mi da' pace.
[tex]f_x dx + f_y dy = 0[/tex]
Non ho mai trovato(cercato) qualcosa sull'analisi non standard, sono molto interessanti le definizioni che implicitamente o esplicitamente hai usato.
Ma si dovrebbe partire dal capire che animale sia questo $f_x dx + f_y dy$,
per come è usato non è una forma differenziale, forse in parte lo sarà, ma poi si fanno delle operazioni non standard, tipo il dividere per $dx$, che significa? dev'essere una definizione, non può essere altro, ma allora dove sono date queste definizioni? Se dici che la funzione è nulla, poi come è possibile che le derivate parziali non lo siano?
Secondo me si dovrebbero trovare dei testi che traducano correttamente le espressioni, perchè può essere non standard come si vuole, ma alla fine deve potersi tradurre in numeri, e i numeri devono sottostare a precise "regole".
Comunque la tua dimostrazione non fa una piega, salvo non spiegare che significa $(d^2y)/dx^2$ questo e altro.
Questa espressione delle derivate si ricava applicando il teorema della derivazione della funzione composta ed il teorema del Dini.
Il succo è che se la $f(x,y)$ è abbastanza buona, la funzione implicitamente definita da $f(x,y)=0$ è altrettanto buona.
Anzi... L'ho chiesto ad un ragazzo all'esame un po' di mesi fa questo stesso fatto.
Il succo è che se la $f(x,y)$ è abbastanza buona, la funzione implicitamente definita da $f(x,y)=0$ è altrettanto buona.
Anzi... L'ho chiesto ad un ragazzo all'esame un po' di mesi fa questo stesso fatto.
Elimino le considerazioni e osservazioni fatte qui, avevo capito male le premesse dell'autore.
[edit] a ecco intendeva la funzione implicita definita dall'equazione. ok
[edit] intendeva la derivata seconda dell'implicita, quindi..ok ok
[edit] mi ha confuso quel "si vuole definire" all'inizio e sono partito con premesse errate. Gli errori iniziali sono i più devianti.
[edit] a ecco intendeva la funzione implicita definita dall'equazione. ok
[edit] intendeva la derivata seconda dell'implicita, quindi..ok ok
[edit] mi ha confuso quel "si vuole definire" all'inizio e sono partito con premesse errate. Gli errori iniziali sono i più devianti.
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