Derivato, interno e frontiera di un insieme
Buongiorno a tutti.
Domanda veloce veloce.
Dato un generico spazio metrico $(X,d)$ consideriamo un suo sottoinsieme $S \subseteq X$.
Per definizione, l'insieme derivato $S'$ di $S$ contiene tutti e soli i suoi punti di accumulazione.
La domanda è: [highlight]la frontiera $\partial S$ e l'interno $S^{\circ}$ di $S$ sono contenuti in $S'$? Cioè, è sempre vero che i punti di frontiera e dell'interno di $S$ sono anche punti di accumulazione di $S$ (in simboli $\partial S \subseteq S'$ e $S^{\circ} \subseteq S'$)?
Inoltre se ho un punto di accumulazione, allora questo sarà necessariamente o di frontiera o appartenente all'interno di $S$ (in simboli $S' \subseteq \partial S \cup S^{\circ}$)?[/highlight]
Io per rispondere al mio dubbio ho ragionato cosi. Consideriamo lo spazio metrico $(\mathbb{R}^2,d)$ con $d$ METRICA DISCRETA.
Consideriamo il sottoinsieme $S={(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x \ge 0, y \ge 0}$.
Il punto $(0,0)$ non è di accumulazione per $S$ in quanto ad esempio $B_{1/2}(0,0)={(0,0)}$ e quindi $B_{1/2}(0,0) \cap S \setminus {(0,0)}=\emptyset$.
Tuttavia risulta anche $(0,0) \in S^{\circ}$ poiché esiste $B_{1/2}(0,0)={(0,0)} \subseteq S$.
Questo mio esempio dovrebbe mostrare che in generale un punto appartenente all'interno $S^{\circ}$ di un insieme $S$ non è necessariamente di accumulazione per tale insieme (cioè non è vero che $S^{\circ} \subseteq S'$).
In modo analogo penso si potrebbe mostrare che un punto appartenente alla frontiera $\partial S$ di un insieme $S$ non è necessariamente di accumulazione per $S$ (cioè non è vero che $\partial S \subseteq S'$).
Per quanto riguarda il mio secondo dubbio, cioè se sia vero che $S' \subseteq \partial S \cup S^{\circ}$, qui credo che l'inclusione sia vera, perché se $S'$ non è contenuto in tale unione, allora deve necessariamente essere contenuto nel complementare $C_X(\partial S \cup S^{\circ})$ di tale unione, cioè nell'esterno $S^e$ di $S$. Ma questo è assurdo poiché $S^e$ (per come è definito) non contiene punti di accumulazione di $S$.
Il mio ragionamento è corretto? O sto sbagliando alla grande?
Grazie in anticipo per i chiarimenti.
Domanda veloce veloce.
Dato un generico spazio metrico $(X,d)$ consideriamo un suo sottoinsieme $S \subseteq X$.
Per definizione, l'insieme derivato $S'$ di $S$ contiene tutti e soli i suoi punti di accumulazione.
La domanda è: [highlight]la frontiera $\partial S$ e l'interno $S^{\circ}$ di $S$ sono contenuti in $S'$? Cioè, è sempre vero che i punti di frontiera e dell'interno di $S$ sono anche punti di accumulazione di $S$ (in simboli $\partial S \subseteq S'$ e $S^{\circ} \subseteq S'$)?
Inoltre se ho un punto di accumulazione, allora questo sarà necessariamente o di frontiera o appartenente all'interno di $S$ (in simboli $S' \subseteq \partial S \cup S^{\circ}$)?[/highlight]
Io per rispondere al mio dubbio ho ragionato cosi. Consideriamo lo spazio metrico $(\mathbb{R}^2,d)$ con $d$ METRICA DISCRETA.
Consideriamo il sottoinsieme $S={(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x \ge 0, y \ge 0}$.
Il punto $(0,0)$ non è di accumulazione per $S$ in quanto ad esempio $B_{1/2}(0,0)={(0,0)}$ e quindi $B_{1/2}(0,0) \cap S \setminus {(0,0)}=\emptyset$.
Tuttavia risulta anche $(0,0) \in S^{\circ}$ poiché esiste $B_{1/2}(0,0)={(0,0)} \subseteq S$.
Questo mio esempio dovrebbe mostrare che in generale un punto appartenente all'interno $S^{\circ}$ di un insieme $S$ non è necessariamente di accumulazione per tale insieme (cioè non è vero che $S^{\circ} \subseteq S'$).
In modo analogo penso si potrebbe mostrare che un punto appartenente alla frontiera $\partial S$ di un insieme $S$ non è necessariamente di accumulazione per $S$ (cioè non è vero che $\partial S \subseteq S'$).
Per quanto riguarda il mio secondo dubbio, cioè se sia vero che $S' \subseteq \partial S \cup S^{\circ}$, qui credo che l'inclusione sia vera, perché se $S'$ non è contenuto in tale unione, allora deve necessariamente essere contenuto nel complementare $C_X(\partial S \cup S^{\circ})$ di tale unione, cioè nell'esterno $S^e$ di $S$. Ma questo è assurdo poiché $S^e$ (per come è definito) non contiene punti di accumulazione di $S$.
Il mio ragionamento è corretto? O sto sbagliando alla grande?
Grazie in anticipo per i chiarimenti.
Risposte
Semplicemente, se $S = B_1(0,0) uu \{ (2,0) \}$, qual è la frontiera? Qual è l’interno? E qual è il derivato?
(Qui, ovviamente, immagina di prendere la metrica euclidea.)
(Qui, ovviamente, immagina di prendere la metrica euclidea.)
Allora: se assumiamo di stare ancora usando la metrica discreta, allora risulta $S=B_1(0,0) \cup {(2,0)}={(0,0),(2,0)}$.
Quindi il derivato è l'insieme vuoto, dato che ne $(0,0)$ ne $(2,0)$ sono punti di accumulazione per $S$ nella metrica discreta.
La frontiera è anch'essa vuota mi pare, perché $(0,0)$ e $(2,0)$ sono entrambi appartenenti al'interno $S^{\circ}$ di $S$.
Quindi il derivato è l'insieme vuoto, dato che ne $(0,0)$ ne $(2,0)$ sono punti di accumulazione per $S$ nella metrica discreta.
La frontiera è anch'essa vuota mi pare, perché $(0,0)$ e $(2,0)$ sono entrambi appartenenti al'interno $S^{\circ}$ di $S$.
A scusa, ho letto dopo della metrica euclidea.
Allora, la frontiera è banalmente ${(2,0)}$, mentre il derivato (che coincide con l'interno $S^{\circ}$) è $B_1(0,0)$.
Quindi sicuramente la frontiera non è contenuta nel derivato, ma il derivato è contenuto nell'unione di frontiera e interno di $S$.
Allora, la frontiera è banalmente ${(2,0)}$, mentre il derivato (che coincide con l'interno $S^{\circ}$) è $B_1(0,0)$.
Quindi sicuramente la frontiera non è contenuta nel derivato, ma il derivato è contenuto nell'unione di frontiera e interno di $S$.
"Leonardo97":
A scusa, ho letto dopo della metrica euclidea.
Allora, la frontiera è banalmente ${(2,0)}$, mentre il derivato (che coincide con l'interno $S^{\circ}$) è $B_1(0,0)$.
No, ma proprio no.
Allora, in ogni spazi metrico ogni palla è aperta, quindi la palla $B_1(0,0)$ è aperta, e quindi preso un qualsiasi punto $x_0$ della palla è possibile trovare un intorno di $x_0$ tutto contenuto nella palla stessa. Quindi $B_1(0,0)$ coincide con il suo interno $(B_1(0,0))^{\circ}$.
Il punto $(2,0)$ è invece di frontiera per $S$, dato che qualunque intorno di tale punto consta di punti di $S$ (per esempio $(2,0)$) e di punti non appartenenti ad $S$.
Inoltre, tale punto certamente non è di accumulazione per $S$, dato che ad esempio $B_{1.5}(2,0) \cap S \setminus {(2,0)}=\emptyset$.
Quindi i punti di accumulazione di $S$ sono da cercarsi eventualmente nella palla $B_1(0,0)$.
Preso un generico punto $x_0$ della palla, per quanto detto prima esiste un intorno di tale punto tutto contenuto nella palla, e quindi $\forall r>0 B_r(x_0) \cap B_1(0,0) \setminus {x_0} \neq \emptyset$.
Il punto $(2,0)$ è invece di frontiera per $S$, dato che qualunque intorno di tale punto consta di punti di $S$ (per esempio $(2,0)$) e di punti non appartenenti ad $S$.
Inoltre, tale punto certamente non è di accumulazione per $S$, dato che ad esempio $B_{1.5}(2,0) \cap S \setminus {(2,0)}=\emptyset$.
Quindi i punti di accumulazione di $S$ sono da cercarsi eventualmente nella palla $B_1(0,0)$.
Preso un generico punto $x_0$ della palla, per quanto detto prima esiste un intorno di tale punto tutto contenuto nella palla, e quindi $\forall r>0 B_r(x_0) \cap B_1(0,0) \setminus {x_0} \neq \emptyset$.
Fai un disegno.
I punti interni sono ovviamente di accumulazione, ma ce ne sono altri.
Il punto isolato $(2,0)$ è ovviamente di frontiera, ma ce ne sono altri.
I punti interni sono ovviamente di accumulazione, ma ce ne sono altri.
Il punto isolato $(2,0)$ è ovviamente di frontiera, ma ce ne sono altri.
A scanso di equivoci, con $B_1(0,0)$ si intende ${(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2<1}$ vero?
In tal caso non capisco a quali punti dovrei guardare.
${(2,0)}$ è ovviamente di frontiera e non è certamente di accumulazione per $S$.
Quindi rimane la palla $B_1(0,0)$, che però è un bell'insieme aperto, senza bordo.
Un aiutino?
In tal caso non capisco a quali punti dovrei guardare.
${(2,0)}$ è ovviamente di frontiera e non è certamente di accumulazione per $S$.
Quindi rimane la palla $B_1(0,0)$, che però è un bell'insieme aperto, senza bordo.
Un aiutino?
Perché, i punti di frontiera devono per forza appartenere all’insieme?
Controlla la definizione.
Controlla la definizione.
Scusa il ritardo nella risposta, ero a cena.
Effettivamente non stavo considerando il bordo di $B_1(0,0)$, cioè l'insieme $\partial B_1(0,0)={(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2=1}$ che pur non appartenendo a $S$ sono tutti punti della sua frontiera.
Quindi riassumendo:
$\partial S=\partial B_1(0,0) \cup {(2,0)}$, $S^{\circ}=B_1(0,0)$, $S'=B_1(0,0) \cup \partial B_1(0,0)$.
Dunque valgono le inclusioni $S' \subseteq \partial S \cup S^{\circ}$ e $S^{\circ} \subseteq S'$ ma NON l'inclusione $\partial S \subseteq S'$.
Credo sia giusto.
Effettivamente non stavo considerando il bordo di $B_1(0,0)$, cioè l'insieme $\partial B_1(0,0)={(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2=1}$ che pur non appartenendo a $S$ sono tutti punti della sua frontiera.
Quindi riassumendo:
$\partial S=\partial B_1(0,0) \cup {(2,0)}$, $S^{\circ}=B_1(0,0)$, $S'=B_1(0,0) \cup \partial B_1(0,0)$.
Dunque valgono le inclusioni $S' \subseteq \partial S \cup S^{\circ}$ e $S^{\circ} \subseteq S'$ ma NON l'inclusione $\partial S \subseteq S'$.
Credo sia giusto.
Insomma l'unico dubbio che mi resta è se $S^{\circ} \subseteq S'$ oppure no, con $S$ generico sottoinsieme di uno spazio metrico $X$. Ma credo di aver dimostrato con un controesempio che ciò non è in generale vero.
Desideravo solo sapere se il mio controesempio fosse corretto. Lo è?
Grazie della disponibilità.
Desideravo solo sapere se il mio controesempio fosse corretto. Lo è?
Grazie della disponibilità.
In generale no.
Prendi uno spazio $X$ avente più di un elemento e con la metrica discreta $d(x,y) = \{ (0, text(, se ) x=y), (1, text(, se ) x!=y) :}$, che è uno spazio con topologia $mathcal(A) = P(X)$.
Evidentemente, comunque scegli un sottoinsieme $S sub X$ non vuoto, si ha $S$ aperto, quindi $S^circ = S$, e però $S^’ = emptyset$ (perché per ogni $s in S$ esiste l’intorno aperto $\{s\}$ di $s$ che non ha con $S$ punti in comune diversi da $s$ stesso).
Ma questo dipende dal fatto che la metrica discreta fa “schifo”, perché genera intorni aperti “troppo stretti” (nel senso che esistono intorni aperti che contengono solo il “centro” come punto).
Generalmente, si tende ad evitare questa situazione, cioè si tende a mettere su uno spazio metriche che generino intorni aperti “sufficientemente larghi” (cioè che contengano anche altri punti oltre il loro “centro”).
Prendi uno spazio $X$ avente più di un elemento e con la metrica discreta $d(x,y) = \{ (0, text(, se ) x=y), (1, text(, se ) x!=y) :}$, che è uno spazio con topologia $mathcal(A) = P(X)$.
Evidentemente, comunque scegli un sottoinsieme $S sub X$ non vuoto, si ha $S$ aperto, quindi $S^circ = S$, e però $S^’ = emptyset$ (perché per ogni $s in S$ esiste l’intorno aperto $\{s\}$ di $s$ che non ha con $S$ punti in comune diversi da $s$ stesso).
Ma questo dipende dal fatto che la metrica discreta fa “schifo”, perché genera intorni aperti “troppo stretti” (nel senso che esistono intorni aperti che contengono solo il “centro” come punto).
Generalmente, si tende ad evitare questa situazione, cioè si tende a mettere su uno spazio metriche che generino intorni aperti “sufficientemente larghi” (cioè che contengano anche altri punti oltre il loro “centro”).
Però, a occhio, direi che vale che \(S^{\circ} \setminus S'\subseteq X \setminus X'\). Dove \(\setminus\) è la differenza insiemistica.
Grazie per la risposta gugo82. Allora avevo ragionato correttamente con l'esempio con la metrica discreta.
"vict85":
Però, a occhio, direi che vale che \(S^{\circ} \setminus S'\subseteq X \setminus X'\). Dove \(\setminus\) è la differenza insiemistica.
Beh no in generale proprio no.
No scusa avevo letto male. Non saprei.
Un punto \(s\in S\) è in \(S^{\circ}\), se esiste un suo intorno \(U\) (in \(X\)) tale che \(U\subseteq S\). Un punto \(s\in S\) è in \(X\setminus S'\) se esiste un suo intorno \(V\) tale che \(V\cap S = \{s\}\). Cosa puoi dire su \(U\cap V\) ? Banalmente \(U\cap V\cap S = \{s\}\) e \((U\cap V)\subseteq S\). Ovvero, \(U\cap V\) è un aperto di \(s\) in \(X\) che è composto dal solo punto \(s\).
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