Derivate totali e parziali calcolo numerico
Ciao a tutti.
Ho una domanda sulle derivate parziali e totali.
Ho questa funzione $ S(t,q(t)) $ e quindi una funzione composta da due variabili di cui la q funzione a sua volta di t.
Mi potreste calcolare la derivata prima e seconda rispetto al t.
$ d/ dt S(t,q(t)) $ e $ d/dt(d/ dt S(t,q(t))) $ ?
C'è differenza con $ del/(delt) S(t,q(t)) $ ?
Secondo me no, dato che entrambe le variabili dipendono da t.
Grazie a tutti
Ho una domanda sulle derivate parziali e totali.
Ho questa funzione $ S(t,q(t)) $ e quindi una funzione composta da due variabili di cui la q funzione a sua volta di t.
Mi potreste calcolare la derivata prima e seconda rispetto al t.
$ d/ dt S(t,q(t)) $ e $ d/dt(d/ dt S(t,q(t))) $ ?
C'è differenza con $ del/(delt) S(t,q(t)) $ ?
Secondo me no, dato che entrambe le variabili dipendono da t.
Grazie a tutti
Risposte
Sì invece, c'è differenza.
Quando consideri la derivazione parziale, lo fai nel prendere
$S$ come funzione di più variabili -
Se derivi totalmente invece stai consideranso $S$ come funzione di quella sola variabile.
Il punto è che $q$ e legata a $t$ indipendentemente da come $S$ sia legata a $t$ esplicitamente (cioè non attraverso $q$).
E viceversa.
Vedi questo nella cosidetta "derivata materiale":
Ho una funzione$f$ della posizione $\vecx$ e del tempo $t$. per
esempio $f$ può essere la temperatura di una particella fluida,
oppure, come funzione vettoriale, la sua velocità.
Se derivo parzialmente rispetto al tempo, vedo la "tendenza al cambiamento" della temperatura in quel punto, perchè
la posizione mi è fissa.
Questo mi può interessare se voglio
considerare, per esempio, l'influenza in quel punto della temperatura del fluido, come rispetto ad una parete l'influenza del vento;
o, per un tubo, quella di un liquido freddante.
Ma se sono interessato a ciò che succede nel fluido, devo "seguire il moto" -ovvero
"seguire" la particella fluida (da qui il nome di "derivata materiale").
Per cui derivo TOTALMENTE rispetto
al tempo, essendo $\vecx=\vecx(\vecX,t)$, dove $\vecX$ è una configurazione di riferimento:
$"d"/("d"t)f=\partial/(\partialt)f+\sum_i\partial/(\partialx_i)f*d/dtx_i=$
$=\partial/(\partialt)f+\sum_i\partial/(\partialx_i)fu_i-="D"/("D"t)f$, dove $u_i$ sono le componenti del vettore velocità.
Vorrei dare una definizione più geometrica, ma, al tempo corrente, avrei
bisogno di approfondire le mie cognizioni di Meccanica Razionale.
Quando consideri la derivazione parziale, lo fai nel prendere
$S$ come funzione di più variabili -
Se derivi totalmente invece stai consideranso $S$ come funzione di quella sola variabile.
Il punto è che $q$ e legata a $t$ indipendentemente da come $S$ sia legata a $t$ esplicitamente (cioè non attraverso $q$).
E viceversa.
Vedi questo nella cosidetta "derivata materiale":
Ho una funzione$f$ della posizione $\vecx$ e del tempo $t$. per
esempio $f$ può essere la temperatura di una particella fluida,
oppure, come funzione vettoriale, la sua velocità.
Se derivo parzialmente rispetto al tempo, vedo la "tendenza al cambiamento" della temperatura in quel punto, perchè
la posizione mi è fissa.
Questo mi può interessare se voglio
considerare, per esempio, l'influenza in quel punto della temperatura del fluido, come rispetto ad una parete l'influenza del vento;
o, per un tubo, quella di un liquido freddante.
Ma se sono interessato a ciò che succede nel fluido, devo "seguire il moto" -ovvero
"seguire" la particella fluida (da qui il nome di "derivata materiale").
Per cui derivo TOTALMENTE rispetto
al tempo, essendo $\vecx=\vecx(\vecX,t)$, dove $\vecX$ è una configurazione di riferimento:
$"d"/("d"t)f=\partial/(\partialt)f+\sum_i\partial/(\partialx_i)f*d/dtx_i=$
$=\partial/(\partialt)f+\sum_i\partial/(\partialx_i)fu_i-="D"/("D"t)f$, dove $u_i$ sono le componenti del vettore velocità.
Vorrei dare una definizione più geometrica, ma, al tempo corrente, avrei
bisogno di approfondire le mie cognizioni di Meccanica Razionale.
$ d/(dt) S(t,q(t)) = del/(delt)S+del/(delq)S*d/(dt)q$
e
[@edit]
si non errem.
e
[@edit]
si non errem.
Intanto grazie mille per la risposta.
La derivata prima mi viene come la tua.
La seconda non mi sembra. a me viene
$ d/dt(d/ dt S(t,q(t))) = d/dt((delS)/(delt) +(delS)/(delq) * d/dt q)
$ = [(del)/(delt)(delS)/(delt) +del/(delq)(delS)/(delt)d/dt q]+(delS)/(delq)*d/dt (d/dt q)+d/dt q*(d/dt (delS)/(delq))
$=(delS^2)/(delt^2)+(delS^2)/(deltdelq) d/dt q+(delS)/(delq)*d^2/dt^2q+d/dtq*(del/(delt)(delS)/(delq)+del/(delq)(delS)/(delq) d/dtq)
$=(delS^2)/(delt^2)+2 (delS^2)/(deltdelq) d/dt q+(delS)/(delq)*d^2/dt^2q+(delS^2)/(deltdelq)*(d/dtq)^2
Grazie ancora
La derivata prima mi viene come la tua.
La seconda non mi sembra. a me viene
$ d/dt(d/ dt S(t,q(t))) = d/dt((delS)/(delt) +(delS)/(delq) * d/dt q)
$ = [(del)/(delt)(delS)/(delt) +del/(delq)(delS)/(delt)d/dt q]+(delS)/(delq)*d/dt (d/dt q)+d/dt q*(d/dt (delS)/(delq))
$=(delS^2)/(delt^2)+(delS^2)/(deltdelq) d/dt q+(delS)/(delq)*d^2/dt^2q+d/dtq*(del/(delt)(delS)/(delq)+del/(delq)(delS)/(delq) d/dtq)
$=(delS^2)/(delt^2)+2 (delS^2)/(deltdelq) d/dt q+(delS)/(delq)*d^2/dt^2q+(delS^2)/(deltdelq)*(d/dtq)^2
Grazie ancora
hai ragione 
$d/dt(d/dtS)=\del/(\delt)(d/dtS)+[\del/(\delq)(d/dtS)]*d/dtq$ ..
E -prego!
$d/dt(d/dtS)=\del/(\delt)(d/dtS)+[\del/(\delq)(d/dtS)]*d/dtq$ ..
E -prego!
@siuseppe: una sola nota: non è [tex]$\frac{\partial S^2}{\partial t^2}$[/tex] ma [tex]$\frac{\partial^2 S}{\partial t^2}$[/tex]... ci sono dei prof rompiscatole che per una cosa del genere potrebbero ucciderti... e io rientro tra questi! 
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