Derivate, teoremi sulla derivabilità(Fermat, Rolle, Lagrange)

[SteezyMenchi]

Vorrei chiedere alcune piccole domande:
Devo provare che valgono le seguenti disuguaglianze:
$1+x<=e^x \forall x \in R$
$log(1+x)<=x \forall x > -1$
Non ho ben capito come fare usando i teoremi elencati sopra(l'esercitazione riguarda la derivata in generale e l'applicazione di Lagrange, Rolle e così via). Tuttavia per la prima equazione ho pensato che sapendo che l'esponenziale è una funzione convessa in tutto $R$, e dovendo il suo grafico stare tutto al di sopra di ogni sua retta tangente in $x=0$ deve valere che $e^x >= 1+x \forall x \in R$. Però ho sfruttato la convessità e un teorema ad essa collegato perciò la mia soluzione non penso sia giusta.
La seconda non so cosa fare invece.

[Mephlip]

Ciao! Prova a definire le funzioni $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $g:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$ ponendo $f(x)=e^x-x-1$ e $g(x)=x-\log(1+x)$. Fatto ciò, calcola $f'$ e $g'$. Cosa puoi dedurre dalla risoluzione delle equazioni $f'(x)=0$ e $g'(x)=0$?

La soluzione che hai proposto è corretta, comunque. Semplicemente non si adatta alla richiesta, però.

[SteezyMenchi]

Ok, quindi (dimmi se sbaglio) studiando la derivata prima delle funzioni e quindi i suoi punti stazionari posso affermare che le due funzioni hanno minimo globale in $x=0$ e questo è proprio ciò che ci stanno dicendo le due disuguaglianze sopra perciò le tesi sono dimostrate. Il mio dubbio ora è: se un punto è di estremo locale allora è per forza stazionario e se un punto è di estremo locale ciò non vuol dire che sia di estremo globale (bisogna controllare la natura del punto stazionario e il valore della funzione agli estremi del dominio o dell'intervallo che ci interessa). Detto questo, tu pensi che si debba fare lo studio completo di entrambe le funzioni o mi basta controllare che $x=0$ è punto di minimo (non so se locale o globale) per entrambe allora le due condizioni sono soddisfatte. Forse mi sta sfuggendo qualcosa o forse ho interpretato male il tuo suggerimento.

[pilloeffe]

Ciao SteezyMenchi,

L'ottimo Mephlip ti ha già dato il suggerimento che ti serve, volevo solo farti osservare che in effetti ti basta dimostrare che $\AA x \in \RR $ si ha $1 + x \le e^x $ perché poi, una volta dimostrata questa, per dimostrare la seconda disuguaglianza basta prendere il logaritmo naturale dei due membri:

$ 1 + x \le e^x \iff log(1 + x) \le log e^x \iff log(1 + x) \le x $

$\AA x > - 1 $

[SteezyMenchi]

Grazie anche a te Pillo. la tua osservazione fa risparmiare tempo e calcoli. Ero così concentrato a lavorare sulle due separatamente da non notare una cosa abbastanza evidente.

[Mephlip]

@SteezyMenchi Corretto, l'obiettivo era trovare un punto di minimo globale $x_{\text{min}}$ per cui fosse $f(x_{\text{min}}) \ge 0$. Il punto di minimo deve essere globale, altrimenti potrebbe esistere un intorno di qualche punto in cui le disuguaglianze non sono verificate e noi vogliamo che siano valide per ogni $x$ in un dato intervallo. Non serve proprio uno studio completo di funzione, come hai già detto basta poi assicurarsi che non ci siano punti di non derivabilità e i limiti agli estremi dell'insieme di definizione.