Derivate seconde in due variabili, miste
Buongiorno a tutti, ho un dubbio su questo esercizio:
Sia \(\displaystyle f(x,y)=\frac{y}{x} \qquad \). Allora \(\displaystyle f_{xxyy}(1,0)= \)
Sia \(\displaystyle f(x,y)=\frac{y}{x} \qquad \). Allora \(\displaystyle f_{xxyy}(1,0)= \)
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Il mio problema consiste nel non sapere cosa significhi la terminologia \(\displaystyle f_{xxyy} \)
Mi sono calcolato tutte le derivate prime e le due derivate seconde (nelle stesse variabili), nella fattispecie:
\(\displaystyle f_x(x,y)=-\frac{y}{x^2} \qquad \)
\(\displaystyle f_y(x,y)=\frac{y}{x} \qquad \)
\(\displaystyle f_{xx}(x,y)=\frac{2y}{x^3} \qquad \)
\(\displaystyle f_{yy}(x,y)=\frac{y}{x} \qquad \)
Adesso, prima di tutto a cosa corrisponde la terminologia \(\displaystyle f_{xxyy} \) e poi come procedere per calcolarla?
Risposte
Ciao.
Attenzione: $f_x(x,y)$ è stata calcolata correttamente, ma $f_y(x,y)$ no; dovrebbe risultare:
$f_y(x,y)=1/x$
perché $f_y(x,y)$ si calcola derivando parzialmente $f(x,y)$ rispetto a $y$, considerando $x$ come se fosse costante.
Conseguentemente si avrebbe: $f_{yy}(x,y)=0$ (derivata parziale, rispetto a y, di $f_y(x,y)$).
Il termine $f_{x xyy}(x,y)$ indicherebbe una derivata (mista) del quarto ordine; significa che la funzione viene derivata parzialmente due volte rispetto a $x$ e due volte rispetto a $y$.
Per il teorema di Schwarz, volendo calcolare derivate del quarto ordine e purchè valga l'ipotesi
$f(x,y) in C^4(D), D sube RR^2$ ($D$=dominio della funzione $f(x,y)$)
l'ordine di derivazione (non nel senso di "ordine" della derivata) rispetto alle varie variabili risulta essere ininfluente, per cui si ha:
$f_{x xyy}(x,y)=f_{yyx x}(x,y)=f_{xyxy}(x,y)=f_{yxyx}(x,y)=f_{xyyx}(x,y)=f_{yx xy}(x,y)$
Non so se sono stato utile.
Saluti.
Attenzione: $f_x(x,y)$ è stata calcolata correttamente, ma $f_y(x,y)$ no; dovrebbe risultare:
$f_y(x,y)=1/x$
perché $f_y(x,y)$ si calcola derivando parzialmente $f(x,y)$ rispetto a $y$, considerando $x$ come se fosse costante.
Conseguentemente si avrebbe: $f_{yy}(x,y)=0$ (derivata parziale, rispetto a y, di $f_y(x,y)$).
Il termine $f_{x xyy}(x,y)$ indicherebbe una derivata (mista) del quarto ordine; significa che la funzione viene derivata parzialmente due volte rispetto a $x$ e due volte rispetto a $y$.
Per il teorema di Schwarz, volendo calcolare derivate del quarto ordine e purchè valga l'ipotesi
$f(x,y) in C^4(D), D sube RR^2$ ($D$=dominio della funzione $f(x,y)$)
l'ordine di derivazione (non nel senso di "ordine" della derivata) rispetto alle varie variabili risulta essere ininfluente, per cui si ha:
$f_{x xyy}(x,y)=f_{yyx x}(x,y)=f_{xyxy}(x,y)=f_{yxyx}(x,y)=f_{xyyx}(x,y)=f_{yx xy}(x,y)$
Non so se sono stato utile.
Saluti.
"alessandro8":
Ciao.
Attenzione: $f_x(x,y)$ è stata calcolata correttamente, ma $f_y(x,y)$ no; dovrebbe risultare:
$f_y(x,y)=1/x$
Anzi, mi stupisco di aver fatto solamente quello di errore, visto che i calcoli li ho fatti velocemente
"alessandro8":
Il termine $f_{x xyy}(x,y)$ indicherebbe una derivata (mista) del quarto ordine; significa che la funzione viene derivata parzialmente due volte rispetto a $x$ e due volte rispetto a $y$.
Per il teorema di Schwarz, volendo calcolare derivate del quarto ordine e purchè valga l'ipotesi
$f(x,y) in C^4(D), D sube RR^2$ ($D$=dominio della funzione $f(x,y)$)
l'ordine di derivazione (non nel senso di "ordine" della derivata) rispetto alle varie variabili risulta essere ininfluente, per cui si ha:
$f_{x xyy}(x,y)=f_{yyx x}(x,y)=f_{xyxy}(x,y)=f_{yxyx}(x,y)=f_{xyyx}(x,y)=f_{yx xy}(x,y)$
Vediamo se ho capito: visto che allora l'ordine non è importante, io potrei calcolare la derivata seconda in X e su quella, calcolare poi la derivata seconda in Y? Quindi... verrebbe tipo (i conti adesso non mi interessano, l'importante è capire il ragionamento)
$f_{x xyy}(x,y)=0$
Certamente.
Potresti, addirittura, derivare a "senso alternato" secondo la sequenza $x rightarrow y rightarrow x rightarrow y$, purchè valga l'ipotesi del teorema di Schwarz.
Prova tu stesso a derivare in modi differenti e confronta i risultati ottenuti: dovrebbero coincidere.
Saluti.
Potresti, addirittura, derivare a "senso alternato" secondo la sequenza $x rightarrow y rightarrow x rightarrow y$, purchè valga l'ipotesi del teorema di Schwarz.
Prova tu stesso a derivare in modi differenti e confronta i risultati ottenuti: dovrebbero coincidere.
Saluti.
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