Derivate seconde e miste
una domanda veloce su due funzioni che ho in due diversi esercizi ma nn mi ritornano le derivate:
allora $f(x,y)=xsiny$
la derivata prima rispetto ad x è $fx=siny$ giusto? (applico il prodotto delle derivate giusto?) poi $fy=-xcosy$ a me viene così, sugli appunti ho invece $fy=xcosy$... poi $fxx=0$ ok, $fyy=xsiny$ mentre sugli appunti $fyy=-xsiny$
poi $fxy$ è la derivata mista rispetto alla funzione $xsiny$? sugli appunti viene $cosy$ non capisco perchè...
Questa è un altra funzione che devo studiare (max min punti di sella..) e stessa cosa devo trovare le derivate prime seconde e miste per poi fare la matrice...
$f(x,y)=x^3+y^2-2xy$ quindi derivata prima risp a x: $fx=3x^2-2y$ praticamente tratto la y come costante giusto?
poi la $fy=3y^2-2x$ ma perchè? non dovrebbe essere $2y-2x$?
$fxx=6x$ , e la $fyy$?
poi mi perdo nel fare le $fxy$ e $fyx$ che secondo un teorema sono uguali se continue in un intorno di x, y. (ma qesto vale sempre?)
spero mi potrete aiutare non riesco ad andar avanti con gli esercizi...
allora $f(x,y)=xsiny$
la derivata prima rispetto ad x è $fx=siny$ giusto? (applico il prodotto delle derivate giusto?) poi $fy=-xcosy$ a me viene così, sugli appunti ho invece $fy=xcosy$... poi $fxx=0$ ok, $fyy=xsiny$ mentre sugli appunti $fyy=-xsiny$
poi $fxy$ è la derivata mista rispetto alla funzione $xsiny$? sugli appunti viene $cosy$ non capisco perchè...
Questa è un altra funzione che devo studiare (max min punti di sella..) e stessa cosa devo trovare le derivate prime seconde e miste per poi fare la matrice...
$f(x,y)=x^3+y^2-2xy$ quindi derivata prima risp a x: $fx=3x^2-2y$ praticamente tratto la y come costante giusto?
poi la $fy=3y^2-2x$ ma perchè? non dovrebbe essere $2y-2x$?
$fxx=6x$ , e la $fyy$?
poi mi perdo nel fare le $fxy$ e $fyx$ che secondo un teorema sono uguali se continue in un intorno di x, y. (ma qesto vale sempre?)
spero mi potrete aiutare non riesco ad andar avanti con gli esercizi...
Risposte
Allora, le derivate parziali rispetto a una variabile si fanno derivando rispetto alla variabile che stai considerando, e trattando tutte le altre variabili come fossero costanti.
Ora tu hai $f(x,y)=xsiny$
$f_x$ è la derivata rispetto a $x$, quindi tutto ciò che ha $y$ è costante. Quindi $f_x=1*siny=siny$, e non centra nulla il prodotto delle derivate!
$f_y$ è la derivata rispetto a $y$, quindi tutto ciò che ha $x$ è costante. Quindi $f_y=x*cosy$ perchè $x$ è una costante, e la derivata di $siny$ è $cosy$ quindi sono giusti i tuoi appunti!
Poi $f_("xx")=0$ visto che $f_x=siny$ è una costante, e $f_(yy)=-xsiny$ perchè $x$ è costante, e la derivata di $cosy$ è $-siny$ quindi di nuovo i tuoi appunti sono giusti.
Poi $f_(xy)=cosy$ perchè la derivata di $siny$ rispetto a $y$ è $cosy$. E $f_(yx)=1*cosy=cosy$ perchè $x$ derivato fa $1$, e $cosy$ è costante.
Nota che per il teorema di Schwartz, se $f_(xy)$ e $f_(yx)$ sono continue in un punto (o intervallo) allora $f_(xy)=f_(yx)$ nel punto (o intervallo), proprio come ci viene qui.
Ora tu hai $f(x,y)=xsiny$
$f_x$ è la derivata rispetto a $x$, quindi tutto ciò che ha $y$ è costante. Quindi $f_x=1*siny=siny$, e non centra nulla il prodotto delle derivate!
$f_y$ è la derivata rispetto a $y$, quindi tutto ciò che ha $x$ è costante. Quindi $f_y=x*cosy$ perchè $x$ è una costante, e la derivata di $siny$ è $cosy$ quindi sono giusti i tuoi appunti!
Poi $f_("xx")=0$ visto che $f_x=siny$ è una costante, e $f_(yy)=-xsiny$ perchè $x$ è costante, e la derivata di $cosy$ è $-siny$ quindi di nuovo i tuoi appunti sono giusti.
Poi $f_(xy)=cosy$ perchè la derivata di $siny$ rispetto a $y$ è $cosy$. E $f_(yx)=1*cosy=cosy$ perchè $x$ derivato fa $1$, e $cosy$ è costante.
Nota che per il teorema di Schwartz, se $f_(xy)$ e $f_(yx)$ sono continue in un punto (o intervallo) allora $f_(xy)=f_(yx)$ nel punto (o intervallo), proprio come ci viene qui.
$f_x$ indica la derivata rispetto a x, considerando y costante. Viceversa se la fai rispetto a y. Quindi:
$f_x=siny$, $f_y=xcosy$
$f_(xx)=0$, $f_(yy)=-xsiny$
Per derivata mista invece si intende derivata rispetto ad x e poi dopo rispetto a y (e viceversa).
$f_(xy)=cosy$, $f_(yx)=cosy$
Per capire meglio le derivate miste rivediti il teorema di Schwartz.
$f_x=siny$, $f_y=xcosy$
$f_(xx)=0$, $f_(yy)=-xsiny$
Per derivata mista invece si intende derivata rispetto ad x e poi dopo rispetto a y (e viceversa).
$f_(xy)=cosy$, $f_(yx)=cosy$
Per capire meglio le derivate miste rivediti il teorema di Schwartz.
"lalla23":
Questa è un altra funzione che devo studiare (max min punti di sella..) e stessa cosa devo trovare le derivate prime seconde e miste per poi fare la matrice...
$f(x,y)=x^3+y^2-2xy$ quindi derivata prima risp a x: $fx=3x^2-2y$ praticamente tratto la y come costante giusto?
poi la $fy=3y^2-2x$ ma perchè? non dovrebbe essere $2y-2x$?
$fxx=6x$ , e la $fyy$?
La $f_x$ è corretta, e la $f_y=2y-2x$ è corretta (l'altra da dove esce?!), $f_("xx")=6x$ è corretta, $f_(yy)=2.
Le derivate miste $f_(xy)=-2=f_(yx)$
poi mi perdo nel fare le $fxy$ e $fyx$ che secondo un teorema sono uguali se continue in un intorno di x, y. (ma qesto vale sempre?)
è esattamente in teorema di Schwartz che dicevo sopra, sì vale sempre se le miste sono continue...
scusate continuo a non capire la $fxy$ derivata mista la faccio partendo dalla prima $f(x,y)=xsiny$ se facco la derivata di x rispetto a y $fxy$ non dovrei trattare $siny$ come costante e quindi avere $siny$ come derivata? la derivata mista si intende che derivo tutto indistintamente sia x che y? viene sempre uguale sia che sia $fxy$ che $fyx$?
No no no! Derivata mista $f_(xy)$ si intende fare PRIMA la derivata in x, ottenendo $f_x$ e POI derivare quest'ultima rispetto a y, ottenendo quindi $(f_x)_y$
Invece derivata mista $f_(yx)$ si intende fare PRIMA la derivata in y, ottenendo $f_y$ e POI derivare quest'ultima rispetto a x, ottenendo quindi $(f_y)_x$
In questo caso, $f_(xy)$ significa fare 1) La derivata rispetto a x della $f$, ottenendo $f_x$ 2) Derivare quest'ultima funzione ottenuta rispetto a y, ottenendo $f_(xy)$. Poichè la $f_x$ era $f_x=siny$, la derivata di $siny$ rispetto a y fa $f_(xy)=cosy$
Ti è chiaro?? La derivata mista è sempre una "derivata seconda", così come quando fai $f_("xx")$, che derivi due volte rispetto a x.
In altre parole, se hai $f$, e devi calcolare $f_(xy)$, fai prima $f_x$. Ora sia $g=f_x$ la nuova funzione che ottieni. Allora $f_(xy)=g_(y)$.
Spero di essermi spiegato...
Invece derivata mista $f_(yx)$ si intende fare PRIMA la derivata in y, ottenendo $f_y$ e POI derivare quest'ultima rispetto a x, ottenendo quindi $(f_y)_x$
In questo caso, $f_(xy)$ significa fare 1) La derivata rispetto a x della $f$, ottenendo $f_x$ 2) Derivare quest'ultima funzione ottenuta rispetto a y, ottenendo $f_(xy)$. Poichè la $f_x$ era $f_x=siny$, la derivata di $siny$ rispetto a y fa $f_(xy)=cosy$
Ti è chiaro?? La derivata mista è sempre una "derivata seconda", così come quando fai $f_("xx")$, che derivi due volte rispetto a x.
In altre parole, se hai $f$, e devi calcolare $f_(xy)$, fai prima $f_x$. Ora sia $g=f_x$ la nuova funzione che ottieni. Allora $f_(xy)=g_(y)$.
Spero di essermi spiegato...
ok ci sono grazie!!!
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