Derivate parziali, massimi e minimi assoluti e relativi
Ciao a tutti,
ho due dubbi sulle derivate parziali.
1) Trovare i punti stazionari della funzione: z = 2xy
Calcolo le derivate prime 2x e 2y, le eguaglio a zero e le metto a sistema. Trovo il punto stazionario P(0;0).
Calcolo le altre derivate e calcolo l'hessiano:
H = 2*2 - 0*0 = 4
Non ci sono variabili, quindi H(P) = 4 > 0 e f''(P) = 2 > 0, pertanto P è un minimo relativo.
Il dubbio è: cosa significa l'hessiano positivo per tutti i punti della funzione?
2) Se invece il problema chiedesse di calcolare i massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili, quale sarebbe il procedimento?
Grazie.
ho due dubbi sulle derivate parziali.
1) Trovare i punti stazionari della funzione: z = 2xy
Calcolo le derivate prime 2x e 2y, le eguaglio a zero e le metto a sistema. Trovo il punto stazionario P(0;0).
Calcolo le altre derivate e calcolo l'hessiano:
H = 2*2 - 0*0 = 4
Non ci sono variabili, quindi H(P) = 4 > 0 e f''(P) = 2 > 0, pertanto P è un minimo relativo.
Il dubbio è: cosa significa l'hessiano positivo per tutti i punti della funzione?
2) Se invece il problema chiedesse di calcolare i massimi e minimi assoluti di una funzione di due variabili, quale sarebbe il procedimento?
Grazie.
Risposte
L'Hessiano non vale $4 $ ma $-4 $ e quindi il punto $(0,0) $ è punto di sella .
$H=((0,2),(2,0))$
Il segno dell'hessiano ha interesse nei punti critici della funzione, cioè quelli che annullano il gradiente.
Il fatto che l'hessiano sia negativo ovunque NON CREDO abbia particolare significato.
Che l'origine sia punto di sella lo si determina anche semplicemente andando a vedere il segno di $Delta z $ nell'intorno dell'origine essendo $Delta z = z(x,y)-z(0,0)= 2xy $ .
Quindi nell'intorno dell'origine $ Delta z >0 $ per i punti del I e III quadrante mentre è $Delta z < 0 $ per i punto del II e IV quadrante .
E' punto di sella pertanto.
Per max e min assoluti dovresti confrontare tra loro i valori assunti dalla funzione nei punti di max e min relativo e nei punti al bordo del dominio e dove la funzione non sia derivabile .
Nel caso specifico non esistono punti di max e min assoluti in quanto la funzione tende ( ad es sulla retta $y=x$, per $ x rarr +-oo)$ a $ +oo $, mentre sulla retta $y=-x $ per $ x rarr +-oo $ tende a $-oo $.
Ecco un grafico
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$H=((0,2),(2,0))$
Il segno dell'hessiano ha interesse nei punti critici della funzione, cioè quelli che annullano il gradiente.
Il fatto che l'hessiano sia negativo ovunque NON CREDO abbia particolare significato.
Che l'origine sia punto di sella lo si determina anche semplicemente andando a vedere il segno di $Delta z $ nell'intorno dell'origine essendo $Delta z = z(x,y)-z(0,0)= 2xy $ .
Quindi nell'intorno dell'origine $ Delta z >0 $ per i punti del I e III quadrante mentre è $Delta z < 0 $ per i punto del II e IV quadrante .
E' punto di sella pertanto.
Per max e min assoluti dovresti confrontare tra loro i valori assunti dalla funzione nei punti di max e min relativo e nei punti al bordo del dominio e dove la funzione non sia derivabile .
Nel caso specifico non esistono punti di max e min assoluti in quanto la funzione tende ( ad es sulla retta $y=x$, per $ x rarr +-oo)$ a $ +oo $, mentre sulla retta $y=-x $ per $ x rarr +-oo $ tende a $-oo $.
Ecco un grafico
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Grazie, avevo fatto confusione con i membri della matrice.
Invece per i massimi ed i minimi assoluti c'è un procedimento classico?
Invece per i massimi ed i minimi assoluti c'è un procedimento classico?
Per max e min assoluti dovresti confrontare tra loro i valori assunti dalla funzione nei punti di max e min relativo e nei punti al bordo del dominio e dove la funzione non sia derivabile .
Nel caso specifico non esistono punti di max e min assoluti in quanto la funzione tende ( ad es sulla retta $y=x$, per $ x rarr +-oo)$ a $ +oo $, mentre sulla retta $y=-x $ per $ x rarr +-oo $ tende a $-oo $.
Nel caso specifico non esistono punti di max e min assoluti in quanto la funzione tende ( ad es sulla retta $y=x$, per $ x rarr +-oo)$ a $ +oo $, mentre sulla retta $y=-x $ per $ x rarr +-oo $ tende a $-oo $.
Grazie!
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