Derivate parziali e Lipschitzianità
Ciao a tutti, qualcuno gentilmente potrebbe illustrarmi la dimostrazione secondo cui:
$f:\Omega\to\RR^{n}$ , $f=f(t,u)$ con $t\in\RR$, $u\in\RR^{n}$ se ammette derivate parziali su ogni componente, rispetto a $u$, continue su $\Omega$ allora $f$ localmente lipschitziana rispetto a $u$ uniformemente in $t$ su $\Omega$?
Grazie!
$f:\Omega\to\RR^{n}$ , $f=f(t,u)$ con $t\in\RR$, $u\in\RR^{n}$ se ammette derivate parziali su ogni componente, rispetto a $u$, continue su $\Omega$ allora $f$ localmente lipschitziana rispetto a $u$ uniformemente in $t$ su $\Omega$?
Grazie!
Risposte
Prova a ricostruirla da te, non è difficile.
Il fatto che ti muovi nelle componenti connesse di \(\Omega \) significa che puoi considerare la restrizione di \(f\) a palline di centro \(u\); in tali palline puoi applicare il teorema di Lagrange; ricordati che le derivate, essendo continue, sono pure limitate (per Weierstrass) ed hai finito.
Il fatto che ti muovi nelle componenti connesse di \(\Omega \) significa che puoi considerare la restrizione di \(f\) a palline di centro \(u\); in tali palline puoi applicare il teorema di Lagrange; ricordati che le derivate, essendo continue, sono pure limitate (per Weierstrass) ed hai finito.
Ti ringrazio ma è proprio li il mio problema, ho una questione irrisolta sulla formalità della dimostrazione (la traccia purtroppo l'avevo già intuita, ma non mi basta).
Mi puoi svolgere solo il passaggio relativo all'applicazione del teorema di Lagrange su un campo vettoriale?
Lo so applicare con sicurezza solo in $RR$.
Mi puoi svolgere solo il passaggio relativo all'applicazione del teorema di Lagrange su un campo vettoriale?
Lo so applicare con sicurezza solo in $RR$.
Prova a postare i tuoi conti, che li rivediamo insieme.
Denoto $f_{u_{i}}(t,u)=(f_{1,u_{i}}(t,u),...,f_{n,u_{i}}(t,u))$ il campo vettoriale che è definito per componenti tramite le derivate parziali di $f$ rispetto alla variabile $u_{i}$. $f_{u_{i}}\in\C^{0}(\Omega)$ per hp, quindi su un qualsiasi compatto $K$ contenuto in $\Omega$ il modulo di tale funzione è limitato.
Ma $|f_{u_{i}}(t,u)|\<=|f_{1,u_{i}}(t,u)|+...+|f_{n,u_{i}}(t,u)|=M_{1}+...+M_{n}$ con $M_{h}=\max_{K}(f_{h,u_{i}}(t,u))$
Io so che per Lagrange se $f:\[a,b]\to\RR$ continua su $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ allora esiste un $t_{0}\in [a,b]$ tale che $f^{1}(t_{0})=\frac(f(a)-f(b))(a-b)$.
Per ricondurmi a $f:\RR^{n}\to\RR$ basta che considero il modulo, e fin qui ok.
Dal momento che $a$ e $b$ sono gli estremi dell'intervallo, come faccio ad applicarlo a $R^{n+1}$? Non esistono gli estremi di un insieme su $R^{n}$!
Ma $|f_{u_{i}}(t,u)|\<=|f_{1,u_{i}}(t,u)|+...+|f_{n,u_{i}}(t,u)|=M_{1}+...+M_{n}$ con $M_{h}=\max_{K}(f_{h,u_{i}}(t,u))$
Io so che per Lagrange se $f:\[a,b]\to\RR$ continua su $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ allora esiste un $t_{0}\in [a,b]$ tale che $f^{1}(t_{0})=\frac(f(a)-f(b))(a-b)$.
Per ricondurmi a $f:\RR^{n}\to\RR$ basta che considero il modulo, e fin qui ok.
Dal momento che $a$ e $b$ sono gli estremi dell'intervallo, come faccio ad applicarlo a $R^{n+1}$? Non esistono gli estremi di un insieme su $R^{n}$!
Per cominciare, prendiamo il caso in cui \(f\) ha come spazio d'arrivo \(\mathbb{R}\).
Al posto di prendere \(K\) a caso, prendiamo \(K=\overline{B}(u;r)\subseteq \mathbb{R}^N\), ove il raggio della palla \(r>0\) è scelto abbastanza piccolo di modo che l'insieme \(\{t\}\times K\) sia tutto contenuto in (una componente connessa di) \(\Omega\).
Allora, prendiamo \(v\in K\) si può congiungere ad \(u\) con un segmento, il quale segmento risulterà tutto interno ad (una componente connessa di) \(\Omega\); l'equazione del segmento sarà del tipo \(u+s(v-u)\) con \(s\in [0,1]\).
Consideriamo la restrizione di \(f\) al nostro segmento, i.e. la funzione \(\phi (s;t,u,v):= f(t,u+s(v-u))\): la \(\phi (\cdot ;t,u,v)\) è di classe \(C^1\) in \([0,1]\) quindi possiamo applicare il teorema di Lagrange ed ottenere:
\[
\tag{1} \phi (1;t,u,v) -\phi(0;t,u,v) = \phi^\prime (\sigma;t,u,v)\; ,
\]
per un opportuno valore \(\sigma \in ]0,1[\); ma:
\[
\tag{2} \phi (1;t,u,v) -\phi(0;t,u,v) = f(t,v)-f(t,u)
\]
e per il teorema di derivazione delle funzioni composte:
\[
\tag{3} \phi^\prime (s;t,u,v) = \langle \nabla_u f(t,u+s(v-u)), v-u\rangle
\]
ove \(\langle \cdot ,\cdot \rangle\) è il prodotto scalare di \(\mathbb{R}^N\) e \(\nabla_u f\) è il vettore formato dalle derivate di \(f\) rispetto alle variabili \(u\); quindi, sostituendo (2) e (3) in (1), passando ai moduli ed usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, si trova:
\[
|f(t,v)-f(t,v)|\leq \left\lVert \nabla_u f(t,u+\sigma (v-u)) \right\rVert\ \lVert v-u\rVert\; ;
\]
ma, essendo le derivate di \(f\) limitate, il primo modulo al secondo membro è minore di una costante \(M\geq 0\) che non dipende da \(v\).
Da ciò segue la lipschitzianità della \(f(t,\cdot )\) in \(K\), i.e. la locale lipschitzianità di \(f\) in \(\Omega\).
Se \(f\) ha come spazio d'arrivo \(\mathbb{R}^n\), basta fare lo stesso discorso di prima per stabilire che ogni componente \(f_1,\ldots ,f_n\) è localmente lipschitziana in \(\Omega\).
Ma a questo punto basta ricordare che intorno a \((t,u)\) si ha:
\[
\begin{split}
\lVert f(t,v)-f(t,u)\rVert &\leq \sqrt{n}\ \max \left\{ |f_1(t,v)-f_1(t,u)|,\ldots , |f_n(t,v)-f_n(t,u)| \right\}\\
&\leq \sqrt{n}\ \max \left\{ M_1\ \lVert v-u\rVert,\ldots , M_n\ \lVert v-u\rVert \right\}\\
&= \sqrt{n}\ \max \left\{ M_1,\ldots , M_n \right\}\ \lVert v-u\rVert
\end{split}
\]
per concludere che pure \(f\) è localmente lipschitziana in \(\Omega\).
Al posto di prendere \(K\) a caso, prendiamo \(K=\overline{B}(u;r)\subseteq \mathbb{R}^N\), ove il raggio della palla \(r>0\) è scelto abbastanza piccolo di modo che l'insieme \(\{t\}\times K\) sia tutto contenuto in (una componente connessa di) \(\Omega\).
Allora, prendiamo \(v\in K\) si può congiungere ad \(u\) con un segmento, il quale segmento risulterà tutto interno ad (una componente connessa di) \(\Omega\); l'equazione del segmento sarà del tipo \(u+s(v-u)\) con \(s\in [0,1]\).
Consideriamo la restrizione di \(f\) al nostro segmento, i.e. la funzione \(\phi (s;t,u,v):= f(t,u+s(v-u))\): la \(\phi (\cdot ;t,u,v)\) è di classe \(C^1\) in \([0,1]\) quindi possiamo applicare il teorema di Lagrange ed ottenere:
\[
\tag{1} \phi (1;t,u,v) -\phi(0;t,u,v) = \phi^\prime (\sigma;t,u,v)\; ,
\]
per un opportuno valore \(\sigma \in ]0,1[\); ma:
\[
\tag{2} \phi (1;t,u,v) -\phi(0;t,u,v) = f(t,v)-f(t,u)
\]
e per il teorema di derivazione delle funzioni composte:
\[
\tag{3} \phi^\prime (s;t,u,v) = \langle \nabla_u f(t,u+s(v-u)), v-u\rangle
\]
ove \(\langle \cdot ,\cdot \rangle\) è il prodotto scalare di \(\mathbb{R}^N\) e \(\nabla_u f\) è il vettore formato dalle derivate di \(f\) rispetto alle variabili \(u\); quindi, sostituendo (2) e (3) in (1), passando ai moduli ed usando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, si trova:
\[
|f(t,v)-f(t,v)|\leq \left\lVert \nabla_u f(t,u+\sigma (v-u)) \right\rVert\ \lVert v-u\rVert\; ;
\]
ma, essendo le derivate di \(f\) limitate, il primo modulo al secondo membro è minore di una costante \(M\geq 0\) che non dipende da \(v\).
Da ciò segue la lipschitzianità della \(f(t,\cdot )\) in \(K\), i.e. la locale lipschitzianità di \(f\) in \(\Omega\).
Se \(f\) ha come spazio d'arrivo \(\mathbb{R}^n\), basta fare lo stesso discorso di prima per stabilire che ogni componente \(f_1,\ldots ,f_n\) è localmente lipschitziana in \(\Omega\).
Ma a questo punto basta ricordare che intorno a \((t,u)\) si ha:
\[
\begin{split}
\lVert f(t,v)-f(t,u)\rVert &\leq \sqrt{n}\ \max \left\{ |f_1(t,v)-f_1(t,u)|,\ldots , |f_n(t,v)-f_n(t,u)| \right\}\\
&\leq \sqrt{n}\ \max \left\{ M_1\ \lVert v-u\rVert,\ldots , M_n\ \lVert v-u\rVert \right\}\\
&= \sqrt{n}\ \max \left\{ M_1,\ldots , M_n \right\}\ \lVert v-u\rVert
\end{split}
\]
per concludere che pure \(f\) è localmente lipschitziana in \(\Omega\).
Sei immenso!
Non mi era assolutamente venuto in mente di studiare la funzione lungo un cammino parametrizzato.
Rimane solo un dubbio: Il fatto che $u\in\RR^{n}$ è compatibile con la tua dimostrazione?
Non mi era assolutamente venuto in mente di studiare la funzione lungo un cammino parametrizzato.
Rimane solo un dubbio: Il fatto che $u\in\RR^{n}$ è compatibile con la tua dimostrazione?
Mi spiego meglio: ha senso parlare di $\grad_{u}$?
"Nomadje":
Mi spiego meglio: ha senso parlare di $\grad_{u}$?
Non capisco che vuoi sapere...
Il simbolo \(\nabla_u\) denota semplicemente l'operatore:
\[
\left( \frac{\partial }{\partial u_1} ,\frac{\partial }{\partial u_2},\ldots ,\frac{\partial }{\partial u_N}\right)
\]
che fornisce il vettore delle derivate rispetto alle \(u\); tale operatore è distinto dal gradiente \(\nabla\), il quale è l'operatore:
\[
\left( \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial }{\partial u_1} ,\frac{\partial }{\partial u_2},\ldots ,\frac{\partial }{\partial u_N}\right)
\]
in cui figura anche la derivata rispetto alla \(t\).
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