Derivate parziali e integrali su funzioni a 3 variabili
Innanzitutto, buonasera a tutti 
In secondo luogo, chiedo scusa per il titolo un po' vago, ma non sapevo proprio come rendere meglio.
Infine, mi scuso se non sarò correttissimo col linguaggio mathjax, ma ci proverò
Premessa: il presente problema di natura matematica riguarda la parte "analitica" dell'esame di Scienza delle Costruzioni, per Ingegneria. I passaggi incriminati sono tratti dal libro di testo A. Carpinteri, "Scienza delle Costruzioni", vol. 1, pagg. 281-282
Dopo queste premesse, iniziamo (copio dal testo):
Ho 3 funzioni $ u:R^3 \rightarrow R^3 , v:R^3 \rightarrow R^3 , w:R^3 \rightarrow R^3 $ ognuna funzione delle 3 variabili $x, y, z $ ovvero $ u(x,y,z) , v(x,y,z) , w(x,y,z) $.
Sussiste la relazione:
1) $(\partialu_0)/(partialy) + (\partialv_0)/(partialx) = Ax $ dove: $ A=$costante$; u_0(y,z) ; v_0(x,z) ; $.
Integrando la 1) rispetto ad $x$, otteniamo:
2) $ v_0(x,z)=A(x^2)/2 + v_1(x,z)$
Il mio quesito è: derivando la 2) rispetto ad $x$ dovrei riottenere la 1), e invece no: il termine $(\partialu_0)/(partialy)$, costante rispetto alla variabile $x$, non dovrebbe diventare $(\partialu_0)/(partialy)x$? E poi, il termine $v_1(x,z)$ da dove salta fuori? Anch'esso, se derivato, darebbe luogo ad un termine $(\partialv_1)/(\partialx)$...
Non capisco dove sto sbagliando!
Magari ragiono in maniera un po' maccheronica, ma così riesco a capire meglio (tralasciando il fatto che dopo Analisi Matematica II così tanti formalismi sono andati persi...).
In secondo luogo, chiedo scusa per il titolo un po' vago, ma non sapevo proprio come rendere meglio.
Infine, mi scuso se non sarò correttissimo col linguaggio mathjax, ma ci proverò
Premessa: il presente problema di natura matematica riguarda la parte "analitica" dell'esame di Scienza delle Costruzioni, per Ingegneria. I passaggi incriminati sono tratti dal libro di testo A. Carpinteri, "Scienza delle Costruzioni", vol. 1, pagg. 281-282
Dopo queste premesse, iniziamo (copio dal testo):
Ho 3 funzioni $ u:R^3 \rightarrow R^3 , v:R^3 \rightarrow R^3 , w:R^3 \rightarrow R^3 $ ognuna funzione delle 3 variabili $x, y, z $ ovvero $ u(x,y,z) , v(x,y,z) , w(x,y,z) $.
Sussiste la relazione:
1) $(\partialu_0)/(partialy) + (\partialv_0)/(partialx) = Ax $ dove: $ A=$costante$; u_0(y,z) ; v_0(x,z) ; $.
Integrando la 1) rispetto ad $x$, otteniamo:
2) $ v_0(x,z)=A(x^2)/2 + v_1(x,z)$
Il mio quesito è: derivando la 2) rispetto ad $x$ dovrei riottenere la 1), e invece no: il termine $(\partialu_0)/(partialy)$, costante rispetto alla variabile $x$, non dovrebbe diventare $(\partialu_0)/(partialy)x$? E poi, il termine $v_1(x,z)$ da dove salta fuori? Anch'esso, se derivato, darebbe luogo ad un termine $(\partialv_1)/(\partialx)$...
Non capisco dove sto sbagliando!
Magari ragiono in maniera un po' maccheronica, ma così riesco a capire meglio (tralasciando il fatto che dopo Analisi Matematica II così tanti formalismi sono andati persi...).
Risposte
Ciao!
Dunque, in generale se hai una funzione dipendente da più parametri e ne fai la derivata parziale rispetto ad uno di questi, per poi integrarla nuovamente sullo stesso, non ottieni la stessa funzione di partenza. Cioè:
Sia $f(x_1,x_2,..x_n):RR^n->RR^n$, e sia $(\delf)/(\delx_j)$ la sua derivata parziale rispetto alla j-esima variabile $x_j$.
dove $\phi:RR^(n-1)->RR^(n-1)$ è un ulteriore funzione.
Per esempio considera $f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2$. Supponiamo di volerne calcolare la derivata parziale rispetto a $x$ per poi integrare nuovamente su $x$.
da cui si evince che:
Nel tuo caso specifico quindi:
Il termine $(\delu_0)/(\dely)x$ è una funzione che dipende da tutti e tre i parametri; quindi se poni $[(\delu_0)/(\dely)x+\phi(z)]=-v_1(x,y,z)$, quello che ottieni è:
In conclusione, supposto che $v_1$ sia stata intesa così, c'è comunque un errore nel testo, perché dovrebbe dipendere anche da $y$, non solo da $x$ e $z$.
Spero di esserti stato d'aiuto!
Dunque, in generale se hai una funzione dipendente da più parametri e ne fai la derivata parziale rispetto ad uno di questi, per poi integrarla nuovamente sullo stesso, non ottieni la stessa funzione di partenza. Cioè:
Sia $f(x_1,x_2,..x_n):RR^n->RR^n$, e sia $(\delf)/(\delx_j)$ la sua derivata parziale rispetto alla j-esima variabile $x_j$.
$\int(\delf)/(\delx_j)dx_j=f(x_1,x_2,..x_n)+\phi(x_1,x_2,..x_(n-1))$,
dove $\phi:RR^(n-1)->RR^(n-1)$ è un ulteriore funzione.
Per esempio considera $f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2$. Supponiamo di volerne calcolare la derivata parziale rispetto a $x$ per poi integrare nuovamente su $x$.
$(\delf)/(\delx)=2ax->\int(\delf)/(\delx)dx=\int2axdx=ax^2+c$,
da cui si evince che:
$\int(\delf(x,y,z))/(\delx)dx=f(x,y,z)+\phi(y,z)$.
Nel tuo caso specifico quindi:
$\int[(\delu_0)/(\dely)+(\delv_0)/(\delx)]dx=(\delu_0)/(\dely)x+v_0(x,z)+\phi(z)=Ax^2$.
Il termine $(\delu_0)/(\dely)x$ è una funzione che dipende da tutti e tre i parametri; quindi se poni $[(\delu_0)/(\dely)x+\phi(z)]=-v_1(x,y,z)$, quello che ottieni è:
$v_0(x,z)=A/2x^2+v_1(x,y,z)$.
In conclusione, supposto che $v_1$ sia stata intesa così, c'è comunque un errore nel testo, perché dovrebbe dipendere anche da $y$, non solo da $x$ e $z$.
Spero di esserti stato d'aiuto!
Certo, sei stato molto chiaro e utile. Ti ringrazio molto.
Vedrò di ragionarci un po' su.
Buona giornata
Vedrò di ragionarci un po' su.
Buona giornata
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