Derivate parziali e direzionali

[Pierlu11]

C'è qualcuno che può confermare o confutare la seguente affermazione?
"Se esistono le derivate parziali in un punto, allora, in quel punto, esistono le derivate direzionali per ogni direzione"

[ciampax]

Tu cosa dici? Ricorda che le derivate parziali sono particolari derivate direzionali, relative alle direzioni principali degli assi coordinati.

[Pierlu11]

Visto da questo punto di vista direi che non è vera ma il dubbio mi è sorto quando ho letto che per definire il differenziale basta l'esistenza delle derivate parziali in un intorno del punto...

[ciampax]

Mica è vero: affinché una funzione sia differenziabile in un punto, oltre alla continuità della funzione e all'esistenza delle derivate parziali nel punto, deve essere anche verificata una certa condizione di limite. Forse tu hai letto che se le derivate parziali sono anche continue in un intorno del punto, allora...

[Pierlu11]

Non parlavo di differenziabilità, ma del differenziale $ df=f_x(bar(x))Deltax+f_y(bar(x))Deltay $ ...

[ciampax]

Che è la stessa cosa: esiste il differenziale se e solo se la funzione è differenziabile...

[nudino]

Non è vero, esistono funzioni non differenziabili in un punto p che in p hanno un differenziale, ad esempio:

sia f: U -> R una funzione da un aperto U di R^2 che ammette tutte le derivate direzionali in p appartenente ad U.

Allora è possibile che f sia non continua, non sia quindi differenziabile, ma abbia un differenziale in p, esistono vari casi particolari...
Qui http://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_function secondo me è spiegato tutto piuttosto bene, se sai l'inglese, alla sezione Differentiability in higher dimensions.