Derivate parziali: è corretto?

[^Tipper^1]

Ciao. Mi si chiede di calcolare $f_x(0,0)$ e $f_y(0,0)$, data $f(x,y)=(3xy)/(1+2x^2y^2)$

Ho proceduto così:

$Lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/h=0$


$Lim_(h->0)(f(0,h)-f(0,0))/h=0$

Per cui: $f_x(0,0)=0$ e $f_y(0,0)=0$. È corretto?

Grazie.

[Raptorista1]

Mmm... Hai provato a fare le derivate parziali e poi sostituire? Potrebbe essere un buon test!

[j18eos]

Io mi trovo con Mirino06, ma calcolerei le derivate per sostituzione come suggerito da Raptorista: forse tutt'e tre abbiamo una sensazione negativa!

[gugo82]

Visto che le funzioni parziali [tex]$f(x,0),\ f(0,y)$[/tex] coincidono con l'applicazione nulla, non capisco perchè mai abbiate tante remore.

[^Tipper^1]

"Raptorista":Mmm... Hai provato a fare le derivate parziali e poi sostituire? Potrebbe essere un buon test!

Cioè questo?

$f_x(x,y)=[3y(1+2x^2y^2)-4xy^2(3xy)]/(1+2x^2y^2)^2$ Quindi $f_x(0,0)=0$

$f_y(x,y)=[3x(1+2x^2y^2)-4x^2y(3xy)]/(1+2x^2y^2)^2$ Quindi $f_y(0,0)=0$.

Non ho capito una cosa: ma quello che avevo fatto io all'inizio, cioè con il rapporto incrementale, è corretto?

Grazie.

[gugo82]

"Mirino06":[quote="Raptorista"]Mmm... Hai provato a fare le derivate parziali e poi sostituire? Potrebbe essere un buon test!

Cioè questo?

$f_x(x,y)=[3y(1+2x^2y^2)-4xy^2(3xy)]/(1+2x^2y^2)^2$ Quindi $f_x(0,0)=0$

$f_y(x,y)=[3x(1+2x^2y^2)-4x^2y(3xy)]/(1+2x^2y^2)^2$ Quindi $f_y(0,0)=0$.

Non ho capito una cosa: ma quello che avevo fatto io all'inizio, cioè con il rapporto incrementale, è corretto?[/quote]
Ad essere sincero, è più corretto come avevi fatto prima.

Infatti, in linea di principio nessuno ti assicura che [tex]$f_x(0,0)$[/tex] coincida con [tex]$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f_x (x,y)$[/tex], poiché ciò accade se [tex]$f_x(x,y)$[/tex] è continua in [tex]$(0,0)$[/tex] (e tu non l'hai stabilito da nessuna parte) oppure se puoi applicare il teorema di Darboux (che non hai citato).
Ad esempio, prendi [tex]$f(x,y)=x^2\ \sin \tfrac{1}{x}$[/tex]: evidentemente la tua funzione è derivabile in [tex]$0$[/tex] rispetto a [tex]$x$[/tex] e [tex]$f_x(0,0)=0$[/tex], però si ha [tex]$f_x(x,y)=2x\sin \tfrac{1}{x}-\cos \tfrac{1}{x}$[/tex] e chiaramente [tex]$f_x(0,0)$[/tex] non coincide col limite di [tex]$f_x(x,y)$[/tex] in [tex]$(0,0)$[/tex], che non esiste.

[yellow2]

Beh però l'origine in questo caso non è un punto malvagio, è tutto ben definito lì quindi non stava facendo il limite.
Poi certo la cosa migliore è accorgersi che sugli assi è sempre nulla.

[gugo82]

@yellow: E pure hai ragione. Mi sono lasciato trasportare.

[^Tipper^1]

Non ho capito: come avrei dovuto risolvere l'esercizio?