Derivate parziali di una funzione con valore assoluto
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per colmare una lacuna che mi porto dietro da tanto tempo. In pratica mi trovo in difficoltà nel valutare le derivate di funzioni con valore assoluto di una variabile e il gradiente di funzioni con valore assoluto di due o più variabili.
Per esempio, qual'è il procedimento da applicare per trovare la derivata della funzione $f(x)=|x|$?
E per quanto riguarda le derivate parziali della funzione di due variabili $f(x,y)=|x-y|$?
volevo chiedervi una mano per colmare una lacuna che mi porto dietro da tanto tempo. In pratica mi trovo in difficoltà nel valutare le derivate di funzioni con valore assoluto di una variabile e il gradiente di funzioni con valore assoluto di due o più variabili.
Per esempio, qual'è il procedimento da applicare per trovare la derivata della funzione $f(x)=|x|$?
E per quanto riguarda le derivate parziali della funzione di due variabili $f(x,y)=|x-y|$?
Risposte
Direi che il procedimento vale sia per Analisi I che per la II.
Devi semplicemente dividerti il valore assoluto e calcolare la derivata nei due casi, prestando particolare attenzione nei punti di cambiamento di legge (infatti per la funzione $ |x| $ la derivata in 0 non esiste).
Prova a svolgere la funzione a due variabili che hai scritto e vediamo cosa non va.
Devi semplicemente dividerti il valore assoluto e calcolare la derivata nei due casi, prestando particolare attenzione nei punti di cambiamento di legge (infatti per la funzione $ |x| $ la derivata in 0 non esiste).
Prova a svolgere la funzione a due variabili che hai scritto e vediamo cosa non va.
$f(x)=|x|$
$f(x)={(x text( se ) x>0),(0 text( se ) x=0),(-x text( se ) x<0):}$
Quindi:
1) $x_0 != 0$
$lim_(x rarr x_0)(x-x_0)/(x-x_0)=1$ per x>0
$lim_(x rarr x_0)(-x+x_0)/(x-x_0)=-1$ per x<0
2) $x_0=0$
$lim_(x rarr 0+)(x-0)/(x-0)=1$
$lim_(x rarr 0-)(-x-0)/(x-0)=-1$
Si avrà allora che:
$f'(x)={(1 text( se ) x>0),(-1 text( se ) x<0),(text(non derivabile se x=0)):}$
Per quanto riguarda la funzione di due variabili il procedimento dovrebbe essere analogo. Giusto?
$f(x)={(x text( se ) x>0),(0 text( se ) x=0),(-x text( se ) x<0):}$
Quindi:
1) $x_0 != 0$
$lim_(x rarr x_0)(x-x_0)/(x-x_0)=1$ per x>0
$lim_(x rarr x_0)(-x+x_0)/(x-x_0)=-1$ per x<0
2) $x_0=0$
$lim_(x rarr 0+)(x-0)/(x-0)=1$
$lim_(x rarr 0-)(-x-0)/(x-0)=-1$
Si avrà allora che:
$f'(x)={(1 text( se ) x>0),(-1 text( se ) x<0),(text(non derivabile se x=0)):}$
Per quanto riguarda la funzione di due variabili il procedimento dovrebbe essere analogo. Giusto?
"Sirio1988":
$f'(x)={(1 text( se ) x>0),(-1 text( se ) x<0),(text(non derivabile se x=0)):}$
Per quanto riguarda la funzione di due variabili il procedimento dovrebbe essere analogo. Giusto?
Esatto. In particolare puoi indicare in modo conciso tutto questo scrivendo
\[D[|x|]=\dfrac{|x|}{x}\qquad\qquad \text{per}\ x\neq 0\]
Per le funzioni in piu variabili è ovviamente lo stesso il ragionamento.
Ok. Grazie ad entrambi.
Insomma, come fa a essere lo stesso ragionamento per funzioni di più variabili? Lì il "modulo" è in realtà la norma euclidea e non è definibile per casi.
Ragazzi ma quando dentro al valore assoluto non c'è x e basta come si fa'? In quel caso non posso usare il valore assoluto in modo sportivo no?
"yellow":
Insomma, come fa a essere lo stesso ragionamento per funzioni di più variabili? Lì il "modulo" è in realtà la norma euclidea e non è definibile per casi.
Non intendevo questo (e nemmeno) sirio penso...Intendevo dire che quando hai ad esempio $|x-y|$, la derivata parziale la calcoli con lo stesso criterio col quale sirio è arrivato a calcolare $D[|x|]$...
Intendevo proprio questo infatti.
Avevo letto male io, scusate. 
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