Derivate parziali di ogni ordine vs continuità

[Matthia2]

Ho questo dubbio: se una funzione [tex]f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}[/tex] ammette derivate parziali di ogni ordine in ogni punto, posso concludere che è continua? Anche senza informazioni sulla continuità delle derivate parziali?
Così a occhio non mi sembra vero, ma non saprei proprio come trovare un controesempio.

[Matthia2]

Up

[Rigel1]

Se ti accontenti delle derivate parziali prime, puoi considerare la funzione
\[
f(x,y) :=
\begin{cases}
\frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0),\\
0, &(x,y) = (0,0),
\end{cases}
\]
che è derivabile parzialmente in ogni punto ma non è continua nell'origine.

[Matthia2]

Grazie ma non è quello che chiedevo Il mio dubbio rimane...

[Sk_Anonymous]

In effetti ci stavo pensando anche io, ma non riesco a realizzare quanto "forte" sia la condizione "esistenza di tutte le derivate parziali"

[Matthia2]

Non lo sa nessuno... deduco quindi che non sia vero che le derivate parziali implicano la continuità, perché se fosse vero sarebbe un fatto noto e qualcuno l'avrebbe scritto. Mi pare ragionevole, che dite?