Derivate Parziali con valore assoluto

[Needhana]

In quali punti $(x,y)$ $in$ $R^2$ esistono le derivate parziali della funzione $f(x,y) = |xy|$ ?


Il libro mi da la seguente soluzione

Fissato $y_0 in R$, la funzione $f(x,y_0) = |x| |y_o| $ è derivabile (rispetto ad x) $AA x!=0 $ se $y_o!=0

Ora dice qualcosa che non capisco

se $y_0=0$ la funzione $f(x,y_o)$ è identicamente nulla e quindi è derivabile $AAx in R$ DOMANDA: dovrebbe essere NON derivabile rispetto a x?????

Ne segue che la funzione $f(x,y)$ ammette derivata parziale rispetto ad x in tutti i punti dell'insieme

${(x,y) in R^2 : x!=0}U {(0,0)}


La cosa che non capisco è perchè è derivabile anche in (0,0)

Grazie Anticipatamente Della Risposta ^_^

[ciampax]

Hai provato ad applicare direttamente le definizioni? Forse andresti meno in confusione. Vediamo cosa succede per la derivabilità nei seguenti casi: 1) [tex]$(x_0,0)$[/tex], 2) [tex]$(0,y_0)$[/tex], 3) [tex]$(0,0)$[/tex], con $x_0\ne 0,\ y_0\ne 0$ per la derivata parziale rispetto ad $x$ (quella rispetto ad $y$ funziona allo stesso modo e lo lascio a te). Ora, per definizione si ha

[tex]$f_x(x,y)=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$[/tex]

per cui abbiamo

caso 1: [tex]$f_x(x_0,0)=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{f(x_0+h,0)-f(x_0,0)}{h}=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{|(x_0+h)\cdot 0|-|x_0 \cdot 0|}{h}=0$[/tex]
caso 2: [tex]$f_x(0,y_0)=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{f(h,y_0)-f(0,y_0)}{h}=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{|h y_0|-|0 \cdot y_0|}{h}=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{|h|\cdot|y_0|}{h}=\pm|y_0|$[/tex]
caso 3: [tex]$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0^\pm}\frac{|h\cdot 0|-|0 \cdot 0|}{h}=0$[/tex]

da cui segue che la derivata parziale rispetto ad $x$ esiste nel caso 1 e nel caso 3, ma non nel caso 2 (se esistesse, i limiti destro e sinistro dovrebbero coincidere). Spero sia chiaro.