Derivate parziali
Salve ragazzi ho dei dubbi sull'argomento derivate parziali. Mi spiego le derivate le so fare, ma quando mi si chiede di determinare l’insieme Y dei punti in cui è derivabile parzialmente rispetto a x e a y , cosa devo fare? Allora vedete se procedo bene: calcolo le derivate parziali rispetto a talune variabili. Per quanto riguarda l'insieme dove sono definite le derivate parziali, devo attenermi all'insieme di definizione della funzione? Inoltre asserisco che la funzione è derivabile in un punto se in quel punto le derivate esistono e sono uguali oppure devono esistere e possono essere diverse? 
Risposte
Sposto in Analisi, non credo che tu voglia comprare o vendere niente con questo messaggio che hai postato in
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hai ragione scusa sono nuovo non ho molta dimistichezza :O
"Gp88":
Inoltre asserisco che la funzione è derivabile in un punto se in quel punto le derivate esistono e sono uguali oppure devono esistere e possono essere diverse?
come-stabilire-se-una-funzione-e-differenziabile-t97620.html
Grazie plepp!! però mi manca l'ultima cosa e cioè. Per quanto riguarda l'insieme dove sono definite le derivate parziali, come vedo quali sono i punti ????
Innanzitutto, se $f$ è definita in una certa regione $X$ di $RR^2$, allora, evidentemente, $Y_{x_i}\subseteq X$, dove con $Y_{x_i}$ indico l'insieme di definizione di $\partial_{x_i} f (x,y)$.
Per trovare $Y_{x_i}$, ti calcoli la derivata parziale e vedi dove è definita
niente di che...attento a casi come questo però:
\[f(x,y):=\dfrac{y}{x}\]
Se calcoli $\partial_x f$ al "solito modo", trovi $\partial_x f(x,y)= -y/x^2$, quindi se valuti quest'espressione in $O=(0,0)$ trovi che la derivata rispetto ad $x$ in $O$ non esiste (avresti, sostituendo, $[0/0]$). Invece, applicando la definizione, hai
\[\partial_x f(x,y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=d f(x,0)\bigg|_{x=0}=\dfrac{d}{dx}\left[ -\dfrac{0}{x^2}\right]\Bigg|_{x=0}=\dfrac{d}{dx}\left[0\right]=0\]
L'insieme $Y$ in cui $f$ risulta derivabile (esistono tutte le derivate parziali) lo ottieni semplicemente intersecando tutti gli $Y_{x_i}$:
\[Y=\bigcap_{i=1}^N \, Y_{x_i}\]
Ciao!
Giuseppe
EDIT: ho modificato un po' la notazione per evitare confusione.
Per trovare $Y_{x_i}$, ti calcoli la derivata parziale e vedi dove è definita
niente di che...attento a casi come questo però:\[f(x,y):=\dfrac{y}{x}\]
Se calcoli $\partial_x f$ al "solito modo", trovi $\partial_x f(x,y)= -y/x^2$, quindi se valuti quest'espressione in $O=(0,0)$ trovi che la derivata rispetto ad $x$ in $O$ non esiste (avresti, sostituendo, $[0/0]$). Invece, applicando la definizione, hai
\[\partial_x f(x,y)\bigg|_{(x,y)=(0,0)}=d f(x,0)\bigg|_{x=0}=\dfrac{d}{dx}\left[ -\dfrac{0}{x^2}\right]\Bigg|_{x=0}=\dfrac{d}{dx}\left[0\right]=0\]
L'insieme $Y$ in cui $f$ risulta derivabile (esistono tutte le derivate parziali) lo ottieni semplicemente intersecando tutti gli $Y_{x_i}$:
\[Y=\bigcap_{i=1}^N \, Y_{x_i}\]
Ciao!
Giuseppe
EDIT: ho modificato un po' la notazione per evitare confusione.
Non mi è molto chiaro
Cioè, la funzione [sqrt (xy)] è definita nel primo e terzo quadrante compresi adesso evidentemente le derivate parziali non esistono se x o y sono nulle e quindi per esempio verifico questo punto (l'origine) costuendo il rapporto incrementale ecc...vedo se sono finiti i limiti e arrivo alla conclusione per l'origine. E per gli altri punti? come li scelgo?? Li scelgo prendendo punti qualsiasi dell'insieme di definizione della funzione o dall'insieme di definizione delle derivate? che confusione....
No. Applichi la definizione (nella pratica, come sopra oppure direttamente con il limite del rapporto incrementale) solo nei punti che ti danno problemi. Proviamo con $f(x,y)=\sqrt{xy}$. Abbiamo $X=\{(x,y)\in RR^2 : xy\ge 0\}$ (quindi il primo e terzo quadrante, come hai detto, inclusi i punti degli assi cartesiani). Calcoliamo al "solito modo" le derivate parziali:
\[\partial_x f(x,y)=\dfrac{y}{2\sqrt{xy}}\qquad\qquad \partial_y f(x,y)=\dfrac{x}{2\sqrt{xy}}\]
Entrambe "sembrano" definite nell'insieme $\{ (x,y)\in RR^2 : xy>0\}$ (ancora primo e terzo quadrante, assi cartesiani esclusi), no? I punti che ci danno problemi, dunque, sono quelli sugli assi. Calcoliamo quindi la $\partial_x f(x,0)$ (derivata parziale rispetto ad $x$ in un generico punto dell'asse $x$):
\[\partial_x f(x,0)=\lim_{t \to 0}\dfrac{\sqrt{(x+t)y}-\sqrt{xy}}{t}=[y=0]=\lim_{t \to 0}\dfrac{0-0}{t}=0\]
La derivata parziale rispetto ad $x$ in un qualsiasi punto dell'asse $x$ vale zero, per cui ora possiamo concludere che essa è definita in $Y_x=\{ xy\ge 0 \wedge x \ne 0\ \text{se}\ y\ne 0\}$ ($X$ privato dei semiassi positivo e negativo delle $y$, ma non dell'origine).
Con un procedimento identico trovi $Y_y$, e poi $Y$ lo ottieni come intersezione di $Y_x$ e $Y_y$.
Ok ora?
PS: per evitare richiami dai moderatori, ti consiglio di imparare a scrivere le formule (due secondi ci vogliono) e di non scrivere più di un post consecutivamente (nello stesso topic) prima che siano passate 24 ore.
\[\partial_x f(x,y)=\dfrac{y}{2\sqrt{xy}}\qquad\qquad \partial_y f(x,y)=\dfrac{x}{2\sqrt{xy}}\]
Entrambe "sembrano" definite nell'insieme $\{ (x,y)\in RR^2 : xy>0\}$ (ancora primo e terzo quadrante, assi cartesiani esclusi), no? I punti che ci danno problemi, dunque, sono quelli sugli assi. Calcoliamo quindi la $\partial_x f(x,0)$ (derivata parziale rispetto ad $x$ in un generico punto dell'asse $x$):
\[\partial_x f(x,0)=\lim_{t \to 0}\dfrac{\sqrt{(x+t)y}-\sqrt{xy}}{t}=[y=0]=\lim_{t \to 0}\dfrac{0-0}{t}=0\]
La derivata parziale rispetto ad $x$ in un qualsiasi punto dell'asse $x$ vale zero, per cui ora possiamo concludere che essa è definita in $Y_x=\{ xy\ge 0 \wedge x \ne 0\ \text{se}\ y\ne 0\}$ ($X$ privato dei semiassi positivo e negativo delle $y$, ma non dell'origine).
Con un procedimento identico trovi $Y_y$, e poi $Y$ lo ottieni come intersezione di $Y_x$ e $Y_y$.
Ok ora?
PS: per evitare richiami dai moderatori, ti consiglio di imparare a scrivere le formule (due secondi ci vogliono) e di non scrivere più di un post consecutivamente (nello stesso topic) prima che siano passate 24 ore.
Wow adesso si che è chiarissimo Graziee
Graziee
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