Derivate parziali
La prof quando ha spiegato questo argomento ha fatto questi esempi:
$f(x,y)=|xy|$
$f(x,y)$ è definita in tutto $R^2$, xy è derivabile in tutti i punti di $R^2$, poi inizia a dire $|t|$ per $t=0$ non è derivabile, $t!=0$ è derivabile, cioè perchè ha detto che quindi |xy| non è derivabile se il loro prodotto è =0?
f è derivabile in tutti i punti $(x,y): xy!=0$
$xy>0\rArrf(x,y)=xy\rArr\ {(f_x (x,y)=y),(f_y (x,y)=x):}$
$xy<0\rArrf(x,y)=-(xy)\rArr {(f_x (x,y)=-y),(f_y (x,y)=-x):}$
Tale funzione è derivabile in (0,0) ma non sugli assi
Scusate ma prima non aveva detto che $|t|$ per $t=0$ non è derivabile, e allora come è possibile?
$f(x,y)=|xy|$
$f(x,y)$ è definita in tutto $R^2$, xy è derivabile in tutti i punti di $R^2$, poi inizia a dire $|t|$ per $t=0$ non è derivabile, $t!=0$ è derivabile, cioè perchè ha detto che quindi |xy| non è derivabile se il loro prodotto è =0?
f è derivabile in tutti i punti $(x,y): xy!=0$
$xy>0\rArrf(x,y)=xy\rArr\ {(f_x (x,y)=y),(f_y (x,y)=x):}$
$xy<0\rArrf(x,y)=-(xy)\rArr {(f_x (x,y)=-y),(f_y (x,y)=-x):}$
Tale funzione è derivabile in (0,0) ma non sugli assi
Scusate ma prima non aveva detto che $|t|$ per $t=0$ non è derivabile, e allora come è possibile?
Risposte
Poi ha scritto quest'altro esempio:
$f(x,y)= {((x,y)/(x^2+y^2),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
per $(x,y)!=(0,0)$
$f_x(x,y)=(y(x^2+y^2)-(xy)2x)/(x^2+y^2)=(x^2y+y^3-2x^2y)/(x^2+y^2)=(y^3-x^2y)/(x^2+y^2)$
$f_y(x,y)=(x(x^2+y^2)-(xy)2y)/(x^2+y^2)^2=(x^3+xy^2-2xy^2)/(x^2+y^2)^2=(x^3-xy^2)/(x^2+y^2)^2$
La prof dice nell'origine questa funzione è derivabile perchè lungo gli assi vale zero, come ha fatto a capire questo?
Io al massimo ho capito che se faccio i rapporti incrementali valgono zero, niente di più.
$f(x,y)= {((x,y)/(x^2+y^2),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
per $(x,y)!=(0,0)$
$f_x(x,y)=(y(x^2+y^2)-(xy)2x)/(x^2+y^2)=(x^2y+y^3-2x^2y)/(x^2+y^2)=(y^3-x^2y)/(x^2+y^2)$
$f_y(x,y)=(x(x^2+y^2)-(xy)2y)/(x^2+y^2)^2=(x^3+xy^2-2xy^2)/(x^2+y^2)^2=(x^3-xy^2)/(x^2+y^2)^2$
La prof dice nell'origine questa funzione è derivabile perchè lungo gli assi vale zero, come ha fatto a capire questo?
Io al massimo ho capito che se faccio i rapporti incrementali valgono zero, niente di più.
Scusa, ma metterti a calcolare i limiti dei rapporti incrementali ti dà così fastidio?
Studiare Analisi è faticoso e serve molto impegno; se non ce lo vuoi mettere, lascia stare ingegneria e dedicati al giardinaggio... Senza dimenticare i guanti, altrimenti correresti il rischio di sporcarti le mani.
Studiare Analisi è faticoso e serve molto impegno; se non ce lo vuoi mettere, lascia stare ingegneria e dedicati al giardinaggio... Senza dimenticare i guanti, altrimenti correresti il rischio di sporcarti le mani.
allora $|xy|$
$lim_(h->0) (f(h,0)-f(0,0))/h=0/h=0$
$lim_(k->0) (f(0,k)-f(0,0))/k=0/k=0$
sono esatti(sicuramente no perchè io i limiti non li so fare....)
allora ho letto sul libro che se stabilito $y_0=0$ otteniamo la funzione identicamente nulla e quindi è derivabile per ogni $x$€$R$, quindi la funzione ammette derivata parziale rispetto a $x$ in tutti i punti di delle'insieme escluso $x=0$ allo stesso modo anche per y(stabilendo una $x_0=0$, quindio è derivabile in $(0,0)$ tranne negli assi.
scusa ma allora basta che mi viene la funzione identicamente nulla mettendo a una delle due variabili 0 e mi verrà che è sempre derivabile? (io vorrei capire delle regole...)
$lim_(h->0) (f(h,0)-f(0,0))/h=0/h=0$
$lim_(k->0) (f(0,k)-f(0,0))/k=0/k=0$
sono esatti(sicuramente no perchè io i limiti non li so fare....)
allora ho letto sul libro che se stabilito $y_0=0$ otteniamo la funzione identicamente nulla e quindi è derivabile per ogni $x$€$R$, quindi la funzione ammette derivata parziale rispetto a $x$ in tutti i punti di delle'insieme escluso $x=0$ allo stesso modo anche per y(stabilendo una $x_0=0$, quindio è derivabile in $(0,0)$ tranne negli assi.
scusa ma allora basta che mi viene la funzione identicamente nulla mettendo a una delle due variabili 0 e mi verrà che è sempre derivabile? (io vorrei capire delle regole...)
"75america":
allora $|xy|$
$lim_(h->0) (f(h,0)-f(0,0))/h=0/h=0$
$lim_(k->0) (f(0,k)-f(0,0))/k=0/k=0$
sono esatti(sicuramente no perchè io i limiti non li so fare....)
Ok, bravo.
Da quanto hai trovato consegue che $f(x,y)=|xy|$ è derivabile in $(0,0)$ rispetto ad ambedue le variabili da cui dipende (e le derivate sono nulle).
Ora, però, la prof. ti chiedeva anche di verificare che $f(x,y)$ non è derivabile (rispetto ad entrambe le variabili) nei punti degli assi diversi da $(0,0)$.
Iniziamo a vedere che succede sull'asse $x$: fissiamo $x_0 \in RR\setminus \{ 0\}$ e consideriamo il punto $(x_0,0)$ dell'asse $x$; per vedere se $f(x,y)$ è derivabile in $(x_0,0)$ bisogna calcolare i limiti dei rapporti incrementali:
$lim_(h\to 0) (f(x_0+h,0)-f(x_0,0))/h \quad$ e $\quad lim_(k\to 0) (f(x_0,k)-f(x_0,0))/k \quad$.
Calcola i due limiti sù, che ci stai prendendo la mano!
allora sia il primo che il secondo secondo me sono uguali a 0:
perchè il primo viene $lim_(h->0) (0-0)/h=0$, l'altro $lim_(k->0)(0-0)/k=0$
mammamia non ce la faccio più mi esercito ma tanto è inutile li sbaglio sicuro...
perchè il primo viene $lim_(h->0) (0-0)/h=0$, l'altro $lim_(k->0)(0-0)/k=0$
mammamia non ce la faccio più mi esercito ma tanto è inutile li sbaglio sicuro...
Riguarda il secondo.
Non fare le cose meccanicamente; ricorda che $x_0!=0$.
P.S.: Smettila di compatirti; nessuno nasce imparato (come si dice dalle nostre parti), ma con impegno e buona volontà si apprende tutto... Magari un po' fuori dal ritmo forsennato imposto dalla triennale, però si impara.
Non fare le cose meccanicamente; ricorda che $x_0!=0$.
P.S.: Smettila di compatirti; nessuno nasce imparato (come si dice dalle nostre parti), ma con impegno e buona volontà si apprende tutto... Magari un po' fuori dal ritmo forsennato imposto dalla triennale, però si impara.
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