Derivate parziali
Ciao ragazzi,
ho difficoltà a calcolare le derivate parziali in un esercizio di fisica, che va svolto con la teoria della propagazione degli errori (usando quindi le derivate parziali)...
Devo risolvere: $DeltaR=|R/S|*DeltaS$, dove $R$ e $S$ sono derivate parziali (scusate ma non so come si fa quel segnetto
).
Come devo procedere per svolgere queste derivate parziali?? Cioè... la formula per trovare $DeltaR$, una volta tolte queste derivate parziali con le "regole" che ho trovato qua e la su internet, come mi diventa??
Grazie infinite!!
Scusate la domanda che sarà anche scema, ma sono bloccata...
ho difficoltà a calcolare le derivate parziali in un esercizio di fisica, che va svolto con la teoria della propagazione degli errori (usando quindi le derivate parziali)...
Devo risolvere: $DeltaR=|R/S|*DeltaS$, dove $R$ e $S$ sono derivate parziali (scusate ma non so come si fa quel segnetto
).Come devo procedere per svolgere queste derivate parziali?? Cioè... la formula per trovare $DeltaR$, una volta tolte queste derivate parziali con le "regole" che ho trovato qua e la su internet, come mi diventa??
Grazie infinite!!
Scusate la domanda che sarà anche scema, ma sono bloccata...
Risposte
Non è ben chiaro se il problema sia il calcolo delle derivate parziali o come dovrebbe risultare \(\Delta R\) una volta svolte le operazioni di derivazione, ma proviamo ugualmente.
Sia \(f(x_1,x_2,\ldots,x_k)\) una funzione di \(k\) variabili, ciascuna con la rispettiva incertezza \(\Delta x_i\), cioè si ha in insieme di misure dato da \(x_i\pm\Delta x_i,\>i=1,2,\ldots,k\). Di tale funzione si può dire che l'errore ad essa associato, generato (propagato) dall'incertezza delle misure delle sue variabili, è fornito da:\[\Delta f\approx\left|\frac{\partial f}{\partial x_1}\right|\Delta x_1+\left|\frac{\partial f}{\partial x_2}\right|\Delta x_2+\ldots+\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|\Delta x_i+\ldots+\left|\frac{\partial f}{\partial x_k}\right|\Delta x_k\]Una derivata parziale \(\frac{\partial f}{\partial x_j}\) segue le usuali regole di derivazione semplicemente considerando \(x_j\) come unica variabile e tutte le altre come fossero delle costanti.
Prese ad esempio le misure con relativa incertezza di due masse \(M\pm\Delta M\), \(m\pm\Delta m\) di due corpi e della reciproca distanza dai centri di massa \(r\pm\Delta r\), nota la legge di gravitazione universale \(F(M,m,r)=G\frac{M\cdot m}{r^2}\), l'errore che si commette sulla misura indiretta di tale forza è dato da:\[\Delta F\approx\left|\frac{\partial F}{\partial M}\right|\Delta M+\left|\frac{\partial F}{\partial m}\right|\Delta m+\left|\frac{\partial F}{\partial r}\right|\Delta r=G\frac{M\cdot m}{r^2}\left(\frac{\Delta M}{M}+\frac{\Delta m}{m}+2\frac{\Delta r}{r}\right)\]Perciò l'errore relativo è:\[\frac{\Delta F}{F}\approx\frac{\Delta M}{M}+\frac{\Delta m}{m}+2\frac{\Delta r}{r}\]Spero sia un po' più chiaro
Sia \(f(x_1,x_2,\ldots,x_k)\) una funzione di \(k\) variabili, ciascuna con la rispettiva incertezza \(\Delta x_i\), cioè si ha in insieme di misure dato da \(x_i\pm\Delta x_i,\>i=1,2,\ldots,k\). Di tale funzione si può dire che l'errore ad essa associato, generato (propagato) dall'incertezza delle misure delle sue variabili, è fornito da:\[\Delta f\approx\left|\frac{\partial f}{\partial x_1}\right|\Delta x_1+\left|\frac{\partial f}{\partial x_2}\right|\Delta x_2+\ldots+\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|\Delta x_i+\ldots+\left|\frac{\partial f}{\partial x_k}\right|\Delta x_k\]Una derivata parziale \(\frac{\partial f}{\partial x_j}\) segue le usuali regole di derivazione semplicemente considerando \(x_j\) come unica variabile e tutte le altre come fossero delle costanti.
Prese ad esempio le misure con relativa incertezza di due masse \(M\pm\Delta M\), \(m\pm\Delta m\) di due corpi e della reciproca distanza dai centri di massa \(r\pm\Delta r\), nota la legge di gravitazione universale \(F(M,m,r)=G\frac{M\cdot m}{r^2}\), l'errore che si commette sulla misura indiretta di tale forza è dato da:\[\Delta F\approx\left|\frac{\partial F}{\partial M}\right|\Delta M+\left|\frac{\partial F}{\partial m}\right|\Delta m+\left|\frac{\partial F}{\partial r}\right|\Delta r=G\frac{M\cdot m}{r^2}\left(\frac{\Delta M}{M}+\frac{\Delta m}{m}+2\frac{\Delta r}{r}\right)\]Perciò l'errore relativo è:\[\frac{\Delta F}{F}\approx\frac{\Delta M}{M}+\frac{\Delta m}{m}+2\frac{\Delta r}{r}\]Spero sia un po' più chiaro
Ok, ora è un po' più chiaro, grazie!!
Quindi il mio $DeltaR$ come si risolverebbe?? Ho una mezza idea, ma non so se è giusta
Quindi il mio $DeltaR$ come si risolverebbe?? Ho una mezza idea, ma non so se è giusta
"Francesca.S":Sarà un po' più chiaro, ma non sufficientemente, a quanto pare
Ok, ora è un po' più chiaro
Quindi il mio $DeltaR$ come si risolverebbe??\(\Delta R\) si esprime in funzione delle derivate di \(R\), perciò o conosci tali derivate o conosci \(R\) (equivalentemente). Hai scritto\[\Delta R\approx\left|\frac{\partial R}{\partial S}\right|\Delta S=\left|\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}S}\right|\Delta S\]essendo (dall'approssimazione) \(R=R(S)\). Ora la derivata dipende da cosa rappresenta \(R\). Se per esempio \(R\) rappresentasse l'area del quadrato di lato \(S\), l'errore che si commette sulla misura indiretta di tale area a causa dell'incertezza sulla misura del lato è:\[\Delta R\approx\left|\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}S}\right|\Delta S=\left|\frac{\mathrm{d}S^2}{\mathrm{d}S}\right|\Delta S=2S\cdot\Delta S\]Se, invece, \(R\) rappresentasse il volume di un cubo di lato \(S\), l'errore su \(R\) sarebbe:\[\Delta R\approx3S^2\cdot\Delta S\]Meglio?
Hai ragione, sono una capra (senza offesa per le capre ).
Ora inizio ad entrare nel meccanismo, scusami ma ho veramente poca dimestichezza con queste cose (ho preparato da sola sia l'esame di Analisi I che di Fisica, e le lacune dovute a questa condizione - forzata - cominciano a farsi sentire...).
Come giustamente mi fai notare ho dimenticato di dirti cosa è $R$!
$R$ è la resistenza, che si calcola con: $R= resistività * l/S$ , nell'esercizio conosco tutti i dati (resistività, sezione $S$, errore della sezione $DeltaS$ e lunghezza $l$).
).Ora inizio ad entrare nel meccanismo, scusami ma ho veramente poca dimestichezza con queste cose (ho preparato da sola sia l'esame di Analisi I che di Fisica, e le lacune dovute a questa condizione - forzata - cominciano a farsi sentire...).
Come giustamente mi fai notare
ho dimenticato di dirti cosa è $R$!$R$ è la resistenza, che si calcola con: $R= resistività * l/S$ , nell'esercizio conosco tutti i dati (resistività, sezione $S$, errore della sezione $DeltaS$ e lunghezza $l$).
Sono abituata a fare esercizi con le derivate parziali più semplici, con una variabile...
Tipo: voglio trovare $Deltav$ e so che $v=d/t$, con la regola della propagazione degli errori ho che $Deltav = |(partial v)/( partial d)|*Deltad + |(partial v)/(partial t)|*Deltat$, da cui, risolvendo le derivate parziali, trovo che $Deltav = 1/t * Deltat + d/t^2 *Deltat$.
Con le formula "semplici", come $v=d/t$ ci sono, ho capito, mi manda in palla il fatto che nella formula di $R$ (resistenza) ci sia oltre alla frazione $l/S$ anche il moltiplicato per la resistività.
Spero di essermi spiegata abbastanza decentemente...
Tipo: voglio trovare $Deltav$ e so che $v=d/t$, con la regola della propagazione degli errori ho che $Deltav = |(partial v)/( partial d)|*Deltad + |(partial v)/(partial t)|*Deltat$, da cui, risolvendo le derivate parziali, trovo che $Deltav = 1/t * Deltat + d/t^2 *Deltat$.
Con le formula "semplici", come $v=d/t$ ci sono, ho capito, mi manda in palla il fatto che nella formula di $R$ (resistenza) ci sia oltre alla frazione $l/S$ anche il moltiplicato per la resistività.
Spero di essermi spiegata abbastanza decentemente...
Ahahah, okay, resistenza elettrica: adesso ci capiamo!
Siccome tutto quello che hai scritto è corretto, mi sembra ti manchi poco per fare l'ultimo passo e quindi ti lascio farlo da sola. Ti ricordo queste tre cose:
\(\bullet\>\)data una funzione \(f\) di variabili \(x_i\) con \(i=1,2,\ldots,k\), l'errore associato è:\[\Delta f\approx\left|\frac{\partial f}{\partial x_1}\right|\Delta x_1+\left|\frac{\partial f}{\partial x_2}\right|\Delta x_2+\ldots+\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|\Delta x_i+\ldots+\left|\frac{\partial f}{\partial x_k}\right|\Delta x_k\]\(\bullet\>\)la resistenza \(R\) è funzione di \(\rho\), \(\ell\) e \(S\); altrimenti detto \(R=R(\rho,\ell,S)\)
\(\bullet\>\)quando svolgi una derivata parziale rispetto a una delle variabili tutte le altre le tratti come fossero delle costanti.
L'unico dubbio che mi rimane è il fatto che dici di avere tutti i dati, ma non citi \(\Delta\rho\) e \(\Delta\ell\). Se non li hai come dati potrebbe essere che in tal caso si assuma errore nullo (o approssimativamente nullo).
Siccome tutto quello che hai scritto è corretto, mi sembra ti manchi poco per fare l'ultimo passo e quindi ti lascio farlo da sola. Ti ricordo queste tre cose:
\(\bullet\>\)data una funzione \(f\) di variabili \(x_i\) con \(i=1,2,\ldots,k\), l'errore associato è:\[\Delta f\approx\left|\frac{\partial f}{\partial x_1}\right|\Delta x_1+\left|\frac{\partial f}{\partial x_2}\right|\Delta x_2+\ldots+\left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|\Delta x_i+\ldots+\left|\frac{\partial f}{\partial x_k}\right|\Delta x_k\]\(\bullet\>\)la resistenza \(R\) è funzione di \(\rho\), \(\ell\) e \(S\); altrimenti detto \(R=R(\rho,\ell,S)\)
\(\bullet\>\)quando svolgi una derivata parziale rispetto a una delle variabili tutte le altre le tratti come fossero delle costanti.
L'unico dubbio che mi rimane è il fatto che dici di avere tutti i dati, ma non citi \(\Delta\rho\) e \(\Delta\ell\). Se non li hai come dati potrebbe essere che in tal caso si assuma errore nullo (o approssimativamente nullo).
... $DeltaR = l/S^2 * DeltaS * resistività$ !!!
Missione compiuta!
Per il tuo dubbio... sì, ho tutti i dati tranne \( \Delta\rho \) e $Deltal$, penso che il prof intenda che quegli errori tendono a zero...
Grazie mille per il supporto Seb!
Missione compiuta!
Per il tuo dubbio... sì, ho tutti i dati tranne \( \Delta\rho \) e $Deltal$, penso che il prof intenda che quegli errori tendono a zero...
Grazie mille per il supporto Seb!
...E invece per calcolare $Deltav$, che è l'errore sulla velocità di rotazione di un pianeta?
La formula per calcolare $v$ è $ v=(2PiR)/T $.
Con la teoria della propagazione degli errori, trovo: $ Deltav=|(partial v)/(partial R)|*DeltaR $ ... immagino che il $2Pi$ posso "tralasciarlo" per reinserirlo in seguito?
Per risolvere $ (partial v)/(partial R) $ ho pensato di usare la regoletta $ (partialf)/(partialx_2)=x_1 $, quindi verrebbe $ T^-1=1/T $.
$Deltav$ quindi mi diventa $ Deltav= 1/T *DeltaR * 2Pi $ ... ma il risultato non mi torna!
La formula per calcolare $v$ è $ v=(2PiR)/T $.
Con la teoria della propagazione degli errori, trovo: $ Deltav=|(partial v)/(partial R)|*DeltaR $ ... immagino che il $2Pi$ posso "tralasciarlo" per reinserirlo in seguito?
Per risolvere $ (partial v)/(partial R) $ ho pensato di usare la regoletta $ (partialf)/(partialx_2)=x_1 $, quindi verrebbe $ T^-1=1/T $.
$Deltav$ quindi mi diventa $ Deltav= 1/T *DeltaR * 2Pi $ ... ma il risultato non mi torna!
Okay, vediamo di affrontare una cosa alla volta.
"Francesca.S":Se \(k\) è una costante e \(g(x)=k\cdot f(x)\) una funzione derivabile, vale\[\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(k\cdot f(x))}{\mathrm{d}x}=k\cdot\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\]Il medesimo concetto di portare fuori dal segno di derivazione la costante è applicabile pure alle derivate parziali.
Con la teoria della propagazione degli errori, trovo: $ Deltav=|(partial v)/(partial R)|*DeltaR $ ... immagino che il $2Pi$ posso "tralasciarlo" per reinserirlo in seguito?
Per risolvere $ (partial v)/(partial R) $ ho pensato di usare la regoletta $ (partialf)/(partialx_2)=x_1 $Non so che regoletta sia, ma sicuramente non è sempre vera. In ogni caso, sì, funziona con le funzioni del tipo \(f(x_1,x_2)=x_1\cdot x_2\). Infatti è sufficiente applicare la regola che ti ho descritto poc'anzi nel caso delle derivate parziali: derivando rispetto a \(x_2\), la variabile \(x_1\) va considerata costante e si ha\[\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}=\frac{\partial (x_1\cdot x_2)}{\partial x_2}=x_1\cdot\frac{\partial x_2}{\partial x_2}=x_1\]
$Deltav$ quindi mi diventa $ Deltav= 1/T *DeltaR * 2Pi $Per prima cosa sottolineo il fatto che, essendo \(v=v(R,T)\), \(\Delta v\) sarà funzione di \(\Delta R\) e \(\Delta T\). Dunque:\[\Delta v\approx\left|\frac{\partial v}{\partial R}\right|\Delta R+\left|\frac{\partial v}{\partial T}\right|\Delta T\]Non ci resta che calcolare le due derivate di \(v(R,T)\) rispetto a \(R\) e \(T\):\[\begin{equation*}\frac{\partial v}{\partial R}=\frac{2\pi}{T}\cdot\frac{\partial R}{\partial R}=\frac{2\pi}{T}\\\frac{\partial v}{\partial T}=2\pi R\cdot\frac{\partial T^{-1}}{\partial T}=-\frac{2\pi R}{T^2}\end{equation*}\]Complessivamente:\[\Delta v\approx\frac{2\pi}{T}\Delta R+\frac{2\pi R}{T^2}\Delta T=v\left(\frac{\Delta R}{R}+\frac{\Delta T}{T}\right)\]Quello che cercavi?
Grazie infinite seb...!
Sì hai ragionissima, ho bypassato la seconda parte della formula perchè non conosco $DeltaT$, quindi resta "valida" solo la prima parte.
Mi hai spiegato proprio quello che cercavo!!
Grazieeeee!!
"seb":
Per prima cosa sottolineo il fatto che, essendo \( v=v(R,T) \), \( \Delta v \) sarà funzione di \( \Delta R \) e \( \Delta T \). Dunque:\[ \Delta v\approx\left|\frac{\partial v}{\partial R}\right|\Delta R+\left|\frac{\partial v}{\partial T}\right|\Delta T \]
Sì hai ragionissima, ho bypassato la seconda parte della formula perchè non conosco $DeltaT$, quindi resta "valida" solo la prima parte.
Mi hai spiegato proprio quello che cercavo!!
Grazieeeee!!
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