Derivate parziali...
Perché le derivate parziali si definiscono soltanto per le funzioni numeriche? Il mio libro parla di funzioni che abbiano come dominio un sottoinsieme di R^n e come codominio R. Non potrebbero essere derivabili se avessero codominio in R^m?
Risposte
Beh si ed infatti il passo successivo che in teoria dovrebbe proporti il tuo libro è quello dello studio delle funzioni $f:\RR^n\to\RR^m$.
Però una funzione che ha come codominio $\RR^m$ in realtà non è altro che un vettore, e come tale ha delle componenti che a loro volta sono funzioni definite da $\RR^n$ in $\RR$, quindi lo studio delle sue derivate si riduce allo studio delle derivate delle sue componenti.
cioè per fare un esempio prendiamo la funzione $f:\RR^2\to \RR^3$ definita come
$$
f(x,y)=\begin{pmatrix}x*sin(y)\\ y*cos(x)\\ e^{xy}\end{pmatrix}
$$
la sua derivata parziale rispetto ad $x$ sarà evidentemente
$$
f_x(x,y)=\begin{pmatrix}sin(y)\\ -y*sin(x)\\ ye^{xy}\end{pmatrix}
$$
cioè abbiamo fatto semplicemente le derivate parziali delle tre funzioni che sono le componenti della funzione originale.
Tutto qui.
Tutt'altra faccenda sarebbe quella della differenziabilità.
Però una funzione che ha come codominio $\RR^m$ in realtà non è altro che un vettore, e come tale ha delle componenti che a loro volta sono funzioni definite da $\RR^n$ in $\RR$, quindi lo studio delle sue derivate si riduce allo studio delle derivate delle sue componenti.
cioè per fare un esempio prendiamo la funzione $f:\RR^2\to \RR^3$ definita come
$$
f(x,y)=\begin{pmatrix}x*sin(y)\\ y*cos(x)\\ e^{xy}\end{pmatrix}
$$
la sua derivata parziale rispetto ad $x$ sarà evidentemente
$$
f_x(x,y)=\begin{pmatrix}sin(y)\\ -y*sin(x)\\ ye^{xy}\end{pmatrix}
$$
cioè abbiamo fatto semplicemente le derivate parziali delle tre funzioni che sono le componenti della funzione originale.
Tutto qui.
Tutt'altra faccenda sarebbe quella della differenziabilità.
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