Derivate parziali

[Geronimo2]

Ciao a tutti

Ho appena iniziato il corso di Analisi 2 all'università, purtroppo senza aver ancora ripreso a pieno i concetti studiati ad Analisi 1, ed eccomi quindi qua a porvi una domanda che potrebbe, per quanto detto, risultare banale:

Data una funzione $f(x,y)$, non ho capito perché, una volta calcolate le sue derivate parziali ed il loro dominio, anche in punti fuori dal dominio delle derivate è possibile trovare punti di derivabilità per la funzione (questo se non sbaglio era possibile anche per funzioni reali a variabile reale).

Inoltre, non ho capito perché a volte calcolando la derivata parziale in un punto e vedendo che mi viene una forma indeterminata, mi basta andare a calcolare la derivata parziale sostituendo prima i valori costanti della variabile che non sto derivando per non ottenere più una forma indeterminata.

Spero di essermi spiegato, grazie mille!

[Camillo]

Sarebbe meglio tu facessi degli esempi concreti su cosa non ti è chiaro.

[Geronimo2]

Provo più in breve:

data una funzione $f(x,y)$, calcolo le derivate prime parziali della funzione ed il loro dominio. Il dominio di queste derivate è ovviamente un insieme di punti. E' possibile che un punto al di fuori di questo dominio sia comunque un punto dove la funzione è derivabile?

[Emar1]

Concordo in pieno con Camillo. In particolare:

"Geronimo":Data una funzione $f(x,y)$, non ho capito perché, una volta calcolate le sue derivate parziali ed il loro dominio, anche in punti fuori dal dominio delle derivate è possibile trovare punti di derivabilità per la funzione (questo se non sbaglio era possibile anche per funzioni reali a variabile reale).

Esempio?

"Geronimo":
Inoltre, non ho capito perché a volte calcolando la derivata parziale in un punto e vedendo che mi viene una forma indeterminata, mi basta andare a calcolare la derivata parziale sostituendo prima i valori costanti della variabile che non sto derivando per non ottenere più una forma indeterminata.

Esempio?

[Geronimo2]

"Emar": Esempio?

Considero la funzione:

$f(x,y)= y root(3)(x)$

Se calcolo, formalmente, la derivata parziale rispetto $x$ otttengo:

$(partial (y root(3)(x))) / (partial x) = y / (3x^(2/3)) $

Tale ultima espressione ha come dominio, chiaramente $x!=0$. Tuttavia ciò NON vuol dire che in $(0,0)$, ad esempio, la funzione non sia derivabile, anzi. Dalla definizione di derivata parziale tramite limite del rapporto incrementale incrementale ottengo infatti (ponendo quindi fin da principio $y=0$):

$(partial (y root(3)(x))) / (partial x) = (d(0 root(3)(x)))/(dx) = 0 $

Quindi, in definitiva, quanto non capisco è cosa mi esprime il dominio della derivata parziale calcolata in senso generale in funzione di x ed y? Che informazioni mi da se comunque al di fuori del dominio ci può essere derivabilità parziale? Qual è la teoria di fondo che mi permette di dire che anche al di fuori del dominio della derivata parziale generale ci sono punti di derivabilità?