Derivate parziali

[appa91]

Ragazzi una domanda lampo che non riesco a trovare sul mio libro di teoria: se una funzione a due variabili è discontinua in un punto, in quello stesso punto può ammettere derivate parziali?

[amivaleo]

se una funzione è differenziabile in un punto (affermazione A), ammette quindi derivate parziali in quel punto ed è ivi continua (affermazione B).

se A implica B, non B implica non A.

[appa91]

sul fatto che una funzione non continua sono sia differenziabile sono d'accordo. Ma io mi chiedevo se, pur non essendo continua, potesse ammettere derivate parziali. In quel punto s'intende.

[Brancaleone1]

Sì, una funzione a due o più variabili può essere derivabile in un punto ma non continua.

Esempio classico:
${ ( (xy)/(x^2+y^2) text( se ) (x,y) ne (0,0)),( 0 text( se ) (x,y)=(0,0)):}$

è derivabile in $(0,0)$ ma non ivi continua.

[appa91]

Ok... Invece se una funzione è continua ammette sempre derivate parziali giusto?

[Brancaleone1]

Eh no! La continuità non implica la derivabilità.

[appa91]

ok perfetto! avevo un po di casino in testa su sti concetti! grazie mille!

[Brancaleone1]

Può aiutarti questa "lista".
Per funzioni a due o più variabili:

f differenziabile \(\displaystyle \color{green}{==\Rightarrow} \) f continua e derivabile con continuità

f non differenziabile \(\displaystyle \color{red}{=\ne \Rightarrow} \) f non continua

f non differenziabile \(\displaystyle \color{red}{=\ne \Rightarrow} \) f non derivabile

f continua \(\displaystyle \color{red}{=\ne \Rightarrow} \) f derivabile

f non continua \(\displaystyle \color{green}{==\Rightarrow} \) f non differenziabile

f non continua \(\displaystyle \color{red}{=\ne \Rightarrow} \) f non derivabile

f derivabile \(\displaystyle \color{red}{=\ne \Rightarrow} \) f continua

[appa91]

Grande!