Derivate parziale e direzionali
sia $f(x,y)=[x^2*(y-1)]^(1/3)+1$ calcolare le derivate parziali e direzionali in P(0,1) lungo la direzione della retta $y=(x)^(1/2)$
faccio le derivate parziali ma il gradiente il (0,1) mi da abbastanza problemi,se i conti sono giusti le derivate sono:
lungo x: $(2*x*y-2*x)/[3*[(x^2*y-x^2)^2]^(1/3)$ ;
lungo y: $x^2/[3*[(x^2*y-x^2)^2]^(1/3)$ ;
c'è qualcosa di sbagliato fino a qui?
faccio le derivate parziali ma il gradiente il (0,1) mi da abbastanza problemi,se i conti sono giusti le derivate sono:
lungo x: $(2*x*y-2*x)/[3*[(x^2*y-x^2)^2]^(1/3)$ ;
lungo y: $x^2/[3*[(x^2*y-x^2)^2]^(1/3)$ ;
c'è qualcosa di sbagliato fino a qui?
Risposte
$y=\sqrt(x)$ non è una retta. Forse intendevi dire lungo la direzione della retta tangente alla curva in quel punto?
Le derivate parziali mi sembrano corrette.
Le derivate parziali mi sembrano corrette.
scusa ho sbagliato l'eq,la retta è: $y=3^(1/2)*x$
però probabilmente il problema è che le derivate non sono continue...sbaglio?
però probabilmente il problema è che le derivate non sono continue...sbaglio?
Le derivate parziali non sono definite per $x^2y=x^2$ cioè per i punti $(0,y)$ o i punti $(x,1)$.
Per calcolare la derivata direzionale in un punto interno al dominio in cui la funzione è differenziabile, ti basta fare il prodotto scalare tra gradiente e direzione.
Ma visto che nel punto $(0,1)$ le derivate parziali non sono continue, non sei certo che la funzione sia differenziabile; dovresti controllare la differenziabilità direttamente, ma non conviene. Quindi, io calcolerei la derivata direzionale tramite la definizione.
Per calcolare la derivata direzionale in un punto interno al dominio in cui la funzione è differenziabile, ti basta fare il prodotto scalare tra gradiente e direzione.
Ma visto che nel punto $(0,1)$ le derivate parziali non sono continue, non sei certo che la funzione sia differenziabile; dovresti controllare la differenziabilità direttamente, ma non conviene. Quindi, io calcolerei la derivata direzionale tramite la definizione.
si, questo è il classico esercizio dove occorre applicare la definizione, ti salteranno fuori semplificazioni fatte "ad arte", parametrizzi la tua retta e sostituisci , il risultato dovrebbe essere $sqrt(3)$
si infatti è quello che ho fatto e tutto quadra, però non mi è chiara una cosa:
io scelgo un generico versore $ vec v =(cos alpha,sen alpha) $ nel quale poi andrò a sostituire i valori del versore della retta scritta prima, però perchè nel limite del rapporto incrementale vado a scrivere:
$ lim_(t -> 0) [f(tcosalpha,tsenalpha)-f(0,1)]/t $
la t che moltiplica il seno e il coseno cosa rappresenta?
intuitivamente sarebbe come se continuassi ad avvicinarmi al punto (0,1) per la direzione definita da v, giusto?
io scelgo un generico versore $ vec v =(cos alpha,sen alpha) $ nel quale poi andrò a sostituire i valori del versore della retta scritta prima, però perchè nel limite del rapporto incrementale vado a scrivere:
$ lim_(t -> 0) [f(tcosalpha,tsenalpha)-f(0,1)]/t $
la t che moltiplica il seno e il coseno cosa rappresenta?
intuitivamente sarebbe come se continuassi ad avvicinarmi al punto (0,1) per la direzione definita da v, giusto?
comunque il risultato non è radice di 3.
dopo aver trovato le componenti del vettore v va diviso per la norma.
il risultato è radice sesta di 3 fratto 2.
dopo aver trovato le componenti del vettore v va diviso per la norma.
il risultato è radice sesta di 3 fratto 2.
no, la parametrizzazione corretta è la seguente $v=(t,tsqrt(3))$ che va normalizzato, nell'esercizio di prima mi sono dimenticato di farlo, quindi probabilmente il risultato è sbagliato, come fai a parametrizzare una retta con un seno e coseno?
infatti non parametrizzo la retta,parametrizzi un versore generico, quello che hai scritto tu è giusto, poi lo normalizzi e diventa $v=(1/2,sqrt(3)/2)$ a questo punto per non portarti in giro numer nelle formule usi il vettore generico e alla fine sostituisci.
volevo però sapere della t.
volevo però sapere della t.
ok, ho capito, quindi vorresti prendere il generico versore dove in questo caso $alfa=30$ penso si possa fare(aspetta qualcuno che ne sappia più di me per per una risposta esatta) , t in questo caso ti rappresenta una sorta di "ampiezza" nel senso che al variare di t varia anche il modulo del tuo vettore.
Il vettore [tex]$(\cos \alpha, \sin \alpha)$[/tex] è sempre unitario, qualsiasi sia [tex]$\alpha$[/tex]. Soltanto varia la direzione, che si visualizza proprio facendo variare l'angolo [tex]$\alpha$[/tex].
Va bene prendere quello come vettore direzione (purché $\alpha$ si intenda fissato) però devi calcolare [tex]$\lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \alpha,1+t \sin \alpha)-f(0,1)}{t}$[/tex] (hai dimenticato un [tex]$1$[/tex] dentro la parentesi).
Va bene prendere quello come vettore direzione (purché $\alpha$ si intenda fissato) però devi calcolare [tex]$\lim_{t \to 0} \frac{f(t \cos \alpha,1+t \sin \alpha)-f(0,1)}{t}$[/tex] (hai dimenticato un [tex]$1$[/tex] dentro la parentesi).
si si è vero,errore di battitura.
per quanto riguarda la spiegazione della t?
mi sai dire qualcosa?
vorrei approfondire un attimo il concetto perchè se devo applicare la formula senza capire faccio disastri.
per quanto riguarda la spiegazione della t?
mi sai dire qualcosa?
vorrei approfondire un attimo il concetto perchè se devo applicare la formula senza capire faccio disastri.
Cos'è che non hai capito riguardo la $t$?
Puoi vedere quella funzione come la tua funzione originaria ristretta a una retta. Calcolando quel limite, in pratica stai chiedendo come varia la funzione lungo quella retta. Le derivate parziali infatti le puoi anche vedere come un caso particolare di derivate direzionali.
Puoi vedere quella funzione come la tua funzione originaria ristretta a una retta. Calcolando quel limite, in pratica stai chiedendo come varia la funzione lungo quella retta. Le derivate parziali infatti le puoi anche vedere come un caso particolare di derivate direzionali.
ok perfetto, era quello che mi interessava.
grazie per le risposte.
grazie per le risposte.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo