Derivate in spazi metrici generici

[Simon Studion]

Salve a tutti,

è possibile definire il concetto di derivata in uno spazio metrico generico anziché euclideo? Non sono riuscito a trovare nessuna informazione a riguardo, né su internet né sui libri.

Io la definirei così:

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico, sia $B(x_0,δ)⊆X$ e sia $f∶B(x_0,δ)⟶R$.
Si dice che $f$ è derivabile in $x_0$ se $∀x∈B(x_0,δ)-{x_0 },∃!lim_(x⟶x_0)(f(x)-f(x_0 ))/(x-x_0 )=l∈R$.

È solo una curiosità...

Grazie a chi mi risponderà!

[megas_archon]

Cos'è \(x-x_0\) in uno spazio metrico? Come fai a dividere per \(x-x_0\)?

[Simon Studion]

"megas_archon":Cos'è \(x-x_0\) in uno spazio metrico? Come fai a dividere per \(x-x_0\)?

Giusto, hai ragione. A rigore dovrebbe essere $d(x,x_0)$, ma comunque non avrebbe senso dividere il numeratore che appartiene allo spazio reale con il denominatore che appartiene ad un generico spazio metrico.

Deduco anche che non esiste una definizione di derivata che vada al di là di uno spazio euclideo...

Grazie.

[megas_archon]

Beh, esistono molti modi di generalizzare la definizione di derivata; in un senso preciso, la definizione più generale possibile è quella di un anello che ammetta una struttura differenziale https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_algebra

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Anche https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_differential

[gugo82]

"Simon Studion":Io la definirei così:

Sia $(X,d)$ uno spazio metrico, sia $B(x_0,δ)⊆X$ e sia $f∶B(x_0,δ)⟶R$.
Si dice che $f$ è derivabile in $x_0$ se [size=130]$∀x∈B(x_0,δ)-{x_0 },∃!lim_(x⟶x_0)(f(x)-f(x_0 ))/(x-x_0 )=l∈R$[/size].

La parte evidenziata in grande non significa assolutamente nulla.