Derivate funzione a due variabili
Buongiorno a tutti e un grazie a chi risponderà!
il quesito è piuttosto semplice per esperti come voi, ma essendo io una mezza pippa scrivo questo post per una delucidazione:
f(x;y)= (x+y)^2 + e^x^2 mettendo a sistema le derivate prime rispetto a x e poi rispetto a y, e ponendole uguali a 0, cerco i punti candidati
dF/dx = 0 x^2 + 2xy + y^2 + e^x^2 = 0
{ }
dF/dy = 0
mi sono bloccato qui perché non riesco a capire come derivare la e elevata alla x quadro, prima rispetto a x e poi rispetto a y, per poi quindi arrivare in fondo e trovare il punto stazionario.
se qualche buona anima sa spiegarmi il procedimento e le motivazioni ne sarei davvero felice!
il quesito è piuttosto semplice per esperti come voi, ma essendo io una mezza pippa scrivo questo post per una delucidazione:
f(x;y)= (x+y)^2 + e^x^2 mettendo a sistema le derivate prime rispetto a x e poi rispetto a y, e ponendole uguali a 0, cerco i punti candidati
dF/dx = 0 x^2 + 2xy + y^2 + e^x^2 = 0
{ }
dF/dy = 0
mi sono bloccato qui perché non riesco a capire come derivare la e elevata alla x quadro, prima rispetto a x e poi rispetto a y, per poi quindi arrivare in fondo e trovare il punto stazionario.
se qualche buona anima sa spiegarmi il procedimento e le motivazioni ne sarei davvero felice!
Risposte
Allora è molto semplice devi derivare con le regole del calcolo solite, ma trattare le variabili che non stai derivando come se fossero delle costanti, quindi ottieni che
$$
f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=2(x+y)+2xe^{x^2}
\\
f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=2(x+y)
$$
Quindi le poni entrambe uguali a zero ottenendo il sistema
$$
\begin{cases}2(x+y)+2xe^{x^2}=0 \\ 2(x+y)=0\end{cases}
$$
e risolvi il sistema ottenendo che l'unico punto stazionario della tua funzione è l'origine.
Per le motivazioni dipende ci sono diverse motivazioni dietro a ogni cosa, quindi devi essere più specifico su cosa non ti convince o non sai e chiedere le motivazioni di quella specifica cosa altrimenti bisognerebbe trascrivere un libro solo per spiegare un esercizio.
$$
f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=2(x+y)+2xe^{x^2}
\\
f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=2(x+y)
$$
Quindi le poni entrambe uguali a zero ottenendo il sistema
$$
\begin{cases}2(x+y)+2xe^{x^2}=0 \\ 2(x+y)=0\end{cases}
$$
e risolvi il sistema ottenendo che l'unico punto stazionario della tua funzione è l'origine.
Per le motivazioni dipende ci sono diverse motivazioni dietro a ogni cosa, quindi devi essere più specifico su cosa non ti convince o non sai e chiedere le motivazioni di quella specifica cosa altrimenti bisognerebbe trascrivere un libro solo per spiegare un esercizio.
Caro Bossmer,
ti ringrazio per la risposta perché mi ha confermato il risultato, ovvero l'origine come giustamente hai scritto anche tu.
Scusa se ti rompo ancora, ma quindi la e dalla seconda equazione sparisce perché come giustamente hai scritto tu è una costante e derivando rispetto a y diventa 0 (correggimi se sbaglio), e fino a qui ok, ma perché sempre dalla seconda equazione ottengo che x è uguale a 0?
mi sfugge questo passaggio
ti ringrazio per la risposta perché mi ha confermato il risultato, ovvero l'origine come giustamente hai scritto anche tu.
Scusa se ti rompo ancora, ma quindi la e dalla seconda equazione sparisce perché come giustamente hai scritto tu è una costante e derivando rispetto a y diventa 0 (correggimi se sbaglio), e fino a qui ok, ma perché sempre dalla seconda equazione ottengo che x è uguale a 0?
mi sfugge questo passaggio
Credo che tu mi stia chiedendo come si risolve il sistema...
dalla seconda equazione ottieni $y=-x$ che lo sostituisci nella prima e la risolvi...
è questo che mi stai chiedendo?
dalla seconda equazione ottieni $y=-x$ che lo sostituisci nella prima e la risolvi...
è questo che mi stai chiedendo?
esatto. arrivo al punto in cui ho
xe^x^2=0
perché x è uguale a 0?
xe^x^2=0
perché x è uguale a 0?
Beh questo lo dovresti sapere già dalle superiori...
In ogni caso perché è un prodotto, se tu hai due cose che si moltiplicano ed il loro prodotto è zero allora almeno una delle due deve essere nulla...
cioè se hai che $p\cdot q =0$ allora questo è vero quando $p=0$ oppure quando $q=0$ ... tuttavia nel tuo caso $q=e^{x^2}$ e come ben sai questa funzione non è mai zero ... quindi l'unica altra possibilità è che $p=x=0$
In ogni caso perché è un prodotto, se tu hai due cose che si moltiplicano ed il loro prodotto è zero allora almeno una delle due deve essere nulla...
cioè se hai che $p\cdot q =0$ allora questo è vero quando $p=0$ oppure quando $q=0$ ... tuttavia nel tuo caso $q=e^{x^2}$ e come ben sai questa funzione non è mai zero ... quindi l'unica altra possibilità è che $p=x=0$
perfetto! grazie infinite! un saluto!
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