Derivate frazionarie ed equazioni alle derivate frazionarie
qualche domandina di pura curiosità: ho sentito parlare di derivate ad indice frazionario ma mi risulta difficile darmene una interpretazione, qualcuno potrebbe dirmi qualcosa anche solo a livello qualitativo? poi per le equazioni alle derivate frazionarie mi spaventa solo il nome 
. Dico subito che a livello di preparazione non posso ancora arrivare a questi concetti, la mia è curiosità 
. Dico subito che a livello di preparazione non posso ancora arrivare a questi concetti, la mia è curiosità
Risposte
Ci si può chiedere se esiste un operatore $H$ tale che $H^2f(x) = (df(x))/(dx)$, che in base a questa scrittura può essere formalmente interpretato come $d^(1/2)/(dx^(1/2))$.
Consideriamo la funzione $f(x) = x^k$ e notiamo che per $a \in \NN$ abbiamo $(d^ax^k)/(dx^a) = (k!)/((k-a)!) x^(k-a)$. Per estendere questa proprietà poniamo $(d^ax^k)/(dx^a) = (\Gamma(k+1))/(\Gamma(k-a+1)) x^(k-a)$, dove $\Gamma$ è la funzione gamma di Eulero, che ha la proprietà $\Gamma(n+1)=n!$ per $n \in \NN$.
Possiamo allora calcolare $(d^(1/2))/(dx^(1/2))x = (\Gamma(2))/(\Gamma(3/2))x^(1/2) = 2/(\sqrt(\pi))x^(1/2)$, avendo usato le proprietà note della funzione gamma.
Calcoliamo ora $(d^(1/2))/(dx^(1/2)) 2/(\sqrt(\pi))x^(1/2) = 2/(\sqrt(\pi)) (\Gamma(3/2))/(\Gamma(1)) = 1$, ovvero abbiamo ottenuto la proprietà $(d^(1/2))/(dx^(1/2)) (d^(1/2))/(dx^(1/2)) x = d/(dx) x = 1$.
L'esempio è banalmente tratto dalla relativa pagina della Wikipedia inglese, in cui si trovano numerose altre informazioni.
Consideriamo la funzione $f(x) = x^k$ e notiamo che per $a \in \NN$ abbiamo $(d^ax^k)/(dx^a) = (k!)/((k-a)!) x^(k-a)$. Per estendere questa proprietà poniamo $(d^ax^k)/(dx^a) = (\Gamma(k+1))/(\Gamma(k-a+1)) x^(k-a)$, dove $\Gamma$ è la funzione gamma di Eulero, che ha la proprietà $\Gamma(n+1)=n!$ per $n \in \NN$.
Possiamo allora calcolare $(d^(1/2))/(dx^(1/2))x = (\Gamma(2))/(\Gamma(3/2))x^(1/2) = 2/(\sqrt(\pi))x^(1/2)$, avendo usato le proprietà note della funzione gamma.
Calcoliamo ora $(d^(1/2))/(dx^(1/2)) 2/(\sqrt(\pi))x^(1/2) = 2/(\sqrt(\pi)) (\Gamma(3/2))/(\Gamma(1)) = 1$, ovvero abbiamo ottenuto la proprietà $(d^(1/2))/(dx^(1/2)) (d^(1/2))/(dx^(1/2)) x = d/(dx) x = 1$.
L'esempio è banalmente tratto dalla relativa pagina della Wikipedia inglese, in cui si trovano numerose altre informazioni.
grazie, molto chiaro. Geometricamente si possono interpretare in qualche modo alla stregua della usuale derivata?
"Covenant":
grazie, molto chiaro. Geometricamente si possono interpretare in qualche modo alla stregua della usuale derivata?
Non saprei, ma premetto di essere decisamente ignorante sull'argomento. Tuttavia già per le derivate usuali di ordine superiore al secondo non è immediato trovare un significato geometrico, quindi con derivate di questo tipo mi sembra ancora più difficile riuscire a trovare un'interpretazione chiara.
Anch'io non so bene gli aspetti matematici dell'argomento..
Però c'è un articolo di Odifreddi su LE SCIENZE del mese di ottobre "fare le cose a metà" che riguarda esattamente l'argomento (è un articolo divulgativo)..
Non so se puoi ancora procurartelo o magari si può trovare su internet...
In ogni modo si tratta di estendere il concetto di derivata..
Come si è esteso il concetto di potenza: se elevare a una potenza significa moltiplicare tante volte il numero dato, che senso ha elevare alla 3/2, o elevare alla pi greco?
si tratta di passare da un concetto che è definito solo sugli interi a qualcosa che funzioni per tutti i reali, ma che continui a funzionare ugualmente per gli interi..
E' quello che fece Eulero generalizzando il fattoriale.. N! significa moltiplicare 1*2*3*....*N
che senso ha (1/2!) ?
Apparentemente nessun senso, ma i matematici non lasciano mai le cose a metà, nemmeno le cose che fanno a metà.. (la mezza derivata)
Però c'è un articolo di Odifreddi su LE SCIENZE del mese di ottobre "fare le cose a metà" che riguarda esattamente l'argomento (è un articolo divulgativo)..
Non so se puoi ancora procurartelo o magari si può trovare su internet...
In ogni modo si tratta di estendere il concetto di derivata..
Come si è esteso il concetto di potenza: se elevare a una potenza significa moltiplicare tante volte il numero dato, che senso ha elevare alla 3/2, o elevare alla pi greco?
si tratta di passare da un concetto che è definito solo sugli interi a qualcosa che funzioni per tutti i reali, ma che continui a funzionare ugualmente per gli interi..
E' quello che fece Eulero generalizzando il fattoriale.. N! significa moltiplicare 1*2*3*....*N
che senso ha (1/2!) ?
Apparentemente nessun senso, ma i matematici non lasciano mai le cose a metà, nemmeno le cose che fanno a metà.. (la mezza derivata)
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