Derivate e punti di Massimo/Minimo
Ciao 
Vi prego di rispondermi, tra due giorni ho l'orale e mi bombarderanno di domande gli esterni, quindi sto ripassando qualche teorema e spulciandolo bene.
Tutti i teoremi sulle derivate che ho studiato, sfruttano i principali teoremi del calcolo differenziale: Rolle, Lagrange, ecc.. quindi tutti(eccetto de l'hôpital) richiedono che una funzione sia continua su un intervallo chiuso $[a,b]$ e derivabile sullo stesso intervallo $(a,b)$
Quando abbiamo una funzione continua su un aperto(limitato o meno) anche solo da un lato, tecnicamente non potrebbero applicarsi questi teoremi. In generale li possiamo applicare perché esiste sempre un $XsubsetRR$ tale che il teorema vale per ogni $X$?
Ad esempio.. $1/x$ è decrescente su $x>0$ e questo già implica che $f'(x)<0,forallx>0$, però se non sapessi nulla sulla decrescenza della funzione, potrei fare questo ragionamento?
prendo un sottoinsieme chiuso tale che $forall[a,b]subset(0,+infty),a
Nulla in effetti, sono gli estremi che convergono, quindi non è l'intervallo a convergere da nessuna parte.
Nulla anche questo, poiché essendo un intervallo una retta(semiretta), al più potrebbe degenerare in un punto(singoletto). In effetti una semiretta che degenera in una retta non si può sentire.
Scusa per questi errori, ieri ero un po' preso dall'ansia.
Andando all'altra parte.
Ragionandoci si, quella quantità infinitesima è forse proprio l'errore "infinitesimo" che commetto. Ad esempio considerando l'intervallo chiuso $[a,b^-]$ si ha sempre che $b^(-)inRR$.
Cerco di riassumere: operando a limite non faccio altro che convincermi, che essendo la funzione continua e derivabile su ogni successione di chiusi, deduco che posso applicare Lagrange a un generico intervallo $[a,b^-]$(sono affezionato a L.) allora ti pongo una domanda. Dire che $f$ è crescente su $(0,1)$ è un abuso? Di fatti $f$ se è realmente crescente, non lo è su $(0,1)$ ma in un qualunque sottoinsieme del tipo $[0^+,1^-]$.
Se è così, mi illumino d'immenso.
so che sono cose trattate all'università, ma è più forte di me..
Come potrei formalizzare il concetto? Il numero $0^+$ rappresenta un numero sempre più vicino a $0$. Se la retta estesa si ottiene come $RRcup{-infty,+infty}$, allora $I^+(0)=(0,epsilon),epsilon>0$ non rappresenta tutti i numeri reali $0
Io con $[0^+,1^-]$ intendo che posso prendere un qualunque intervallo che contenga punti vicini agli estremi, tipo $[0,0001,0,9999]$
Magari è più corretto dire che Lagrange si possa applicare ad un generico intervallo $Isubset(0,1)$ però io volevo sottolineare il fatto che gli $x_1,x_2$ possano essere presi arbitrariamente vicini agli estremi.
Il problema è che non consideravo:
crescenza in $I=>f'(x)>0,forallx inI$, ma al contrario.
Cioè dedurre che applicando Lagrange a un generico $Isubset(0,1)$, essendo il teorema della crescenza una conseguenza di esso, allora potrei dire che se $f'(x)>0$ in ogni $Isubset(0,1)$ allora fosse crescente su $(0,1)$. Il concetto che mi infastidisce è che mi risulta essere un abuso stabilire che una funzione si deduca crescente su un intervallo aperto per mezzo di L., se non gli si puó effettivamente applicare.
Volevo capire sin dall'inizio se potendo applicare L. a un generico $[epsilon,1-epsilon],epsilon>0$, questo bastasse a giustificare l'abuso.
Naturalmente per abuso intendo che effettivamente non potrei applicare L. all'intervallo $(0,1)$.
Tutto qui.
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Ad esempio.. $1/x$ è decrescente su $x>0$ e questo già implica che $f'(x)<0,forallx>0$, però se non sapessi nulla sulla decrescenza della funzione, potrei fare questo ragionamento?
prendo un sottoinsieme chiuso tale che $forall[a,b]subset(0,+infty),a
Risposte
Ciao, capisco che tu sia un po' agitato per l'esame ma credo che le tue preoccupazioni siano in buona parte infondate. Mi sembra infatti tu abbia compreso abbastanza bene quei teoremi da essere in grado di rispondere senza problemi alle domande di cui ti bombarderanno (ma ne sei poi così tanto sicuro lo faranno?). È certamente vero che, se consideri un intervallo chiuso più piccolo dell'aperto che stai prendendo in considerazione quei teoremi varranno in quell'insieme chiuso. D'altra parte quei teoremi non hanno molto senso nel caso in cui l'intervallo sia aperto. La funzione potrebbe non esistere agli estremi o non essere continua se consideri la chiusura di tale intervallo. Considera per esempio il teorema di Rolle nella funzione mantissa \( y = x - \lfloor x \rfloor \) nell'intervallo \([0, 1]\). Questa funzione è continua e derivabile in \((0,1),\) ma non è continua in \([0, 1]\) e infatti il teorema non è valido.
Grazie mille per la risposta
Più che agitato non voglio deludere me stesso, ho fatto tanto e voglio dare il massimo almeno per questa materia(visto che poi andrò in Matematica). Forse hanno esagerato un po' la cosa, tanto che il presidente si è scomodato a chiedere chi fosse 'quello che ha 10 in matematica'. Anche perché non ho mai studiato matematica per il voto. Quindi mi sento un po' di non deludere i miei professori, anche se lo studio l'ho condotto da solo, comunque.
Prendendo in causa una funzione random continua e derivabile su $(a,b)$, non potrei fare questo ragionamento?
Per quanto riguarda l'estremo destro: prendendo una successione crescente $b_(j_n):NN->RR^>$ essendo che comunque prendo
$j_1,...,j_n,ninNN:j_1<...b_(j_1)<...
si avrebbe che
$[k,b_(j_1)]subset[k,b_(j_2)]subset...subset[k,b_(j_n)],forallninNN,kinRR:k>a$
Facendo questo ragionamento mi ritrovo sul fatto che posso prendere un numero sempre più grande, tale che su quell'intervallo valgano le ipotesi del teorema di Lagrange(per esempio). Lo stesso ragionamento potrei farlo per l'estremo sinistro, dunque posso dedurre che questi teoremi sulle derivate(crescenza, concavità, flessi,...) valgono sul un generico $(a,b)$ anche perché essendo supponendo che sia $lim_(n->+infty)b_(j_n)=b^-$ l'intervallo degenera sull'aperto.
Il problema me lo pongo in particolare per funzioni definite su aperti come $RR$ oppure per funzioni magari che hanno delle discontinuità.
Ad esempio la dimostrazione del teorema di Lagrange richiede che si verifichino le ipotesi per il teorema di Rolle, quindi continua sul chiuso, derivabile sull'aperto. Per i teoremi sulla crescenza(decrescenza) magari parte su un aperto, e dimostra il teorema su un generico intervallo $[x_1,x_2]$ incluso in esso, usando Lagrange. Ma cosa posso dire se uno dei due estremi è infinito, è un punto di discontinuità(e quindi avremo un intervallo aperto)?
Magari la domanda è: è strettamente necessaria la condizione che la funzione sia continua su un intervallo chiuso, o posso considerare lo stesso intervallo, che non contenga gli estremi?
Ora magari la sparo grossa: Data $f(x)$ continua e derivabile su $(1,2)$
$f'(c)=(lim_(b->2^-)f(x)-lim_(a->1^+)f(x))/(2-1)$
Questo mi permetterebbe di utilizzare Lagrange, intanto su un intervallo limitato, ma già sarebbe un passo verso questo trip mentale che mi sto facendo.
Più che agitato non voglio deludere me stesso, ho fatto tanto e voglio dare il massimo almeno per questa materia(visto che poi andrò in Matematica). Forse hanno esagerato un po' la cosa, tanto che il presidente si è scomodato a chiedere chi fosse 'quello che ha 10 in matematica'. Anche perché non ho mai studiato matematica per il voto. Quindi mi sento un po' di non deludere i miei professori, anche se lo studio l'ho condotto da solo, comunque.
Prendendo in causa una funzione random continua e derivabile su $(a,b)$, non potrei fare questo ragionamento?
Per quanto riguarda l'estremo destro: prendendo una successione crescente $b_(j_n):NN->RR^>$ essendo che comunque prendo
$j_1,...,j_n,ninNN:j_1<...
si avrebbe che
$[k,b_(j_1)]subset[k,b_(j_2)]subset...subset[k,b_(j_n)],forallninNN,kinRR:k>a$
Facendo questo ragionamento mi ritrovo sul fatto che posso prendere un numero sempre più grande, tale che su quell'intervallo valgano le ipotesi del teorema di Lagrange(per esempio). Lo stesso ragionamento potrei farlo per l'estremo sinistro, dunque posso dedurre che questi teoremi sulle derivate(crescenza, concavità, flessi,...) valgono sul un generico $(a,b)$ anche perché essendo supponendo che sia $lim_(n->+infty)b_(j_n)=b^-$ l'intervallo degenera sull'aperto.
Il problema me lo pongo in particolare per funzioni definite su aperti come $RR$ oppure per funzioni magari che hanno delle discontinuità.
Ad esempio la dimostrazione del teorema di Lagrange richiede che si verifichino le ipotesi per il teorema di Rolle, quindi continua sul chiuso, derivabile sull'aperto. Per i teoremi sulla crescenza(decrescenza) magari parte su un aperto, e dimostra il teorema su un generico intervallo $[x_1,x_2]$ incluso in esso, usando Lagrange. Ma cosa posso dire se uno dei due estremi è infinito, è un punto di discontinuità(e quindi avremo un intervallo aperto)?
Magari la domanda è: è strettamente necessaria la condizione che la funzione sia continua su un intervallo chiuso, o posso considerare lo stesso intervallo, che non contenga gli estremi?
Ora magari la sparo grossa: Data $f(x)$ continua e derivabile su $(1,2)$
$f'(c)=(lim_(b->2^-)f(x)-lim_(a->1^+)f(x))/(2-1)$
Questo mi permetterebbe di utilizzare Lagrange, intanto su un intervallo limitato, ma già sarebbe un passo verso questo trip mentale che mi sto facendo.
La condizione è necessaria. Puoi certamente usare i limiti (se esistono) per estendere il tuo intervallo aperto ad un intervallo chiuso, ma facendo così stai in pratica considerando una funzione diversa da quella di partenza (che in tali punti non era definita o era discontinua come nel mio esempio). Detto ciò rimane ovvio il discorso che il teorema valga per qualsiasi intervallo chiuso contenuto nel tuo intervallo aperto per cui valgano le condizioni del teorema.
Si infatti considero l'intervallo chiuso e lo 'faccio degenerare' in un aperto. Però devo dire che la cosa mi torna. Cioè è pensabile estendere Lagrange in questa maniera? Mi ricordo che una volta che ho visto Rolle applicato su un aperto, che si dimostra con un ragionamento analogo(con i limiti), in cui devono valere le uguaglianze tra i limiti. Al più sto considerando una funzione che ha, detto brutalmente, una quantità infinitesima di punti in meno.
se considero $arctanx$ in $[1,+infty)$ mi viene proprio quello che pensavo, ovvero due rette orizzontali. $y=pi/4$ e $y=pi/2$
Dunque per quanto riguarda questi teoremi, posso applicarli per questo motivo, cioè che comunque preso un chiuso, valgono in essi?
Secondo questo ragionamento con i limiti, si possono estendere questi teoremi agli aperti(sicuramente già lo si sarà fatto).
Che ne so penso un Weierstrass applicato su un aperto, nel caso in cui si indebolisca la condizione dell'appartenenza degli estremi, richiedendo che siano finiti i limiti.
se considero $arctanx$ in $[1,+infty)$ mi viene proprio quello che pensavo, ovvero due rette orizzontali. $y=pi/4$ e $y=pi/2$
Dunque per quanto riguarda questi teoremi, posso applicarli per questo motivo, cioè che comunque preso un chiuso, valgono in essi?
Secondo questo ragionamento con i limiti, si possono estendere questi teoremi agli aperti(sicuramente già lo si sarà fatto).
Che ne so penso un Weierstrass applicato su un aperto, nel caso in cui si indebolisca la condizione dell'appartenenza degli estremi, richiedendo che siano finiti i limiti.
Non mi è chiaro il tuo ragionamento con l'arcotangente in \([1, \infty).\) Quale teorema vorresti applicare in questo caso? Mi sembra in effetti un caso molto particolare in cui la funzione estesa che stai considerando non è più una funzione in \(\mathbb R,\) ma in \(\mathbb R + \{ \infty \}\). Pensando rapidamente ai teoremi che hai elencato non mi viene in effetti in mente uno di questi che sia valido..
La tua idea può insomma funzionare, ma è necessario stare attenti quando si passa ad un limite. In effetti, nel tuo caso, la successione dei chiusi contenuti in \((a, b)\) avrà come limite \([a, b]\) e non \((a, b)\) e la funzione a cui stai convergendo è quella in cui il valore della funzione agli estremi è sostituita con il loro limite. Se questa funzione estesa e l'insieme chiuso esistono allora il teorema sarà valido, ma non è necessariamente vero in generale.
La tua idea può insomma funzionare, ma è necessario stare attenti quando si passa ad un limite. In effetti, nel tuo caso, la successione dei chiusi contenuti in \((a, b)\) avrà come limite \([a, b]\) e non \((a, b)\) e la funzione a cui stai convergendo è quella in cui il valore della funzione agli estremi è sostituita con il loro limite. Se questa funzione estesa e l'insieme chiuso esistono allora il teorema sarà valido, ma non è necessariamente vero in generale.
Lo metto sotto spoiler
La successione dei chiusi, non degenera nell'aperto? Cioè in effetti avrei, sfruttando le ipotesi del limite $[k,b^-]$ dove in effetti la funzione la considero in un chiuso che ha, come detto prima, una quantità infinitesima di punti in meno. Ma essendo questa quantità arbitraria, potrei dire che la funzione ha sul chiuso 'degenere' lo stesso comportamento che ha sull'aperto?
La successione dei chiusi, non degenera nell'aperto? Cioè in effetti avrei, sfruttando le ipotesi del limite $[k,b^-]$ dove in effetti la funzione la considero in un chiuso che ha, come detto prima, una quantità infinitesima di punti in meno. Ma essendo questa quantità arbitraria, potrei dire che la funzione ha sul chiuso 'degenere' lo stesso comportamento che ha sull'aperto?
Pensandoci in effetti questi teoremi, si applicano su $RR$ e non su $RR$ esteso o al più su sottoinsiemi di $RR$.
Per esempio la crescenza vale su un qualunque intervallo $IsubseteqRR$, ma non su $RR$ esteso(non trovo la tilde). Diciamo quindi che non trattiamo l'infinito. Magari lo stesso vale nei pressi di un punto di discontinuità, tipo in $ln(x)$ su $X=(0,+infty)$ trovo sempre intervalli $IsubsetX$ tali che $f$ sia crescente su $I$. Dunque posso dire che $f$ è crescente su $X$. Mi rendo conto di aver posto un altro tipo di problema, ovvero quello di voler estendere Rolle, Cauchy, Lagrange a un intervallo del tipo $(a,b)$. In fondo è ragionevole pensare che se posso applicare questi teoremi, in particolare Lagrange, a ogni sotto insieme del dominio, posso dire che cresce in qualunque sottoinsieme del dominio. Probabilmente si abusa dicendo che cresce su tutto il dominio. In quel modo si dimostrerebbe che non cresce su ogni sotto-insieme del dominio, ma su tutto il dominio stesso. Nell'esempio precedente sull'arcotangente, se quanto detto è corretto, potrei dire senza abuso che la funzione risulta crescente sul dominio.
È corretto come pensiero?
Per esempio la crescenza vale su un qualunque intervallo $IsubseteqRR$, ma non su $RR$ esteso(non trovo la tilde). Diciamo quindi che non trattiamo l'infinito. Magari lo stesso vale nei pressi di un punto di discontinuità, tipo in $ln(x)$ su $X=(0,+infty)$ trovo sempre intervalli $IsubsetX$ tali che $f$ sia crescente su $I$. Dunque posso dire che $f$ è crescente su $X$. Mi rendo conto di aver posto un altro tipo di problema, ovvero quello di voler estendere Rolle, Cauchy, Lagrange a un intervallo del tipo $(a,b)$. In fondo è ragionevole pensare che se posso applicare questi teoremi, in particolare Lagrange, a ogni sotto insieme del dominio, posso dire che cresce in qualunque sottoinsieme del dominio. Probabilmente si abusa dicendo che cresce su tutto il dominio. In quel modo si dimostrerebbe che non cresce su ogni sotto-insieme del dominio, ma su tutto il dominio stesso. Nell'esempio precedente sull'arcotangente, se quanto detto è corretto, potrei dire senza abuso che la funzione risulta crescente sul dominio.
È corretto come pensiero?
Tilde: ALT+126
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Ciao, Alex
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Ciao, Alex
Che cosa significa che una successione di insiemi (intervalli) converge ad un qualche insieme? Cosa significa che la tua successione dovrebbe "degenerare" all'aperto? Inoltre stai lavorando con insiemi infiniti: quella tua "quantità infinitesima di punti" che hai tolto all'intervallo ha lo stesso numero di punti dell'intera retta reale e nel caso di \([1, \infty)\) non è neanche un insieme limitato. I tuoi ragionamenti sono insomma molto informali ed è proprio in questa mancanza di precisione che stanno gli errori.
Quei teoremi che hai preso in considerazione hanno senso solo per un intervallo chiuso. Puoi cercare di fare diversi giri per estendere la tua funzione a intervalli più grossi ma alla fine ti troverai comunque sempre in un intervallo chiuso e sarà su questo che il teorema avrà effetto.
Quei teoremi che hai preso in considerazione hanno senso solo per un intervallo chiuso. Puoi cercare di fare diversi giri per estendere la tua funzione a intervalli più grossi ma alla fine ti troverai comunque sempre in un intervallo chiuso e sarà su questo che il teorema avrà effetto.
"apatriarca":
Che cosa significa che una successione di insiemi (intervalli) converge ad un qualche insieme?
Nulla in effetti, sono gli estremi che convergono, quindi non è l'intervallo a convergere da nessuna parte.
"apatriarca":
Cosa significa che la tua successione dovrebbe "degenerare" all'aperto?
Nulla anche questo, poiché essendo un intervallo una retta(semiretta), al più potrebbe degenerare in un punto(singoletto). In effetti una semiretta che degenera in una retta non si può sentire.
Scusa per questi errori, ieri ero un po' preso dall'ansia.
Andando all'altra parte.
Ragionandoci si, quella quantità infinitesima è forse proprio l'errore "infinitesimo" che commetto. Ad esempio considerando l'intervallo chiuso $[a,b^-]$ si ha sempre che $b^(-)inRR$.
Cerco di riassumere: operando a limite non faccio altro che convincermi, che essendo la funzione continua e derivabile su ogni successione di chiusi, deduco che posso applicare Lagrange a un generico intervallo $[a,b^-]$(sono affezionato a L.) allora ti pongo una domanda. Dire che $f$ è crescente su $(0,1)$ è un abuso? Di fatti $f$ se è realmente crescente, non lo è su $(0,1)$ ma in un qualunque sottoinsieme del tipo $[0^+,1^-]$.
Se è così, mi illumino d'immenso.
so che sono cose trattate all'università, ma è più forte di me..
A me però non risulta che \( 0^{+} \) sia un numero reale.
A me risulta che scritture del tipo \( a^{+} \) e \( a^{-} \) servano per indicare un certo comportamento dei limiti.
Quindi una scrittura del tipo \( [ 0^{+}, 1^{-} ] \) non ha proprio alcun senso.
A me risulta che scritture del tipo \( a^{+} \) e \( a^{-} \) servano per indicare un certo comportamento dei limiti.
Quindi una scrittura del tipo \( [ 0^{+}, 1^{-} ] \) non ha proprio alcun senso.
"G.D.":
A me però non risulta che \( 0^{+} \) sia un numero reale.
A me risulta che scritture del tipo \( a^{+} \) e \( a^{-} \) servano per indicare un certo comportamento dei limiti.
Quindi una scrittura del tipo \( [ 0^{+}, 1^{-} ] \) non ha proprio alcun senso.
Come potrei formalizzare il concetto? Il numero $0^+$ rappresenta un numero sempre più vicino a $0$. Se la retta estesa si ottiene come $RRcup{-infty,+infty}$, allora $I^+(0)=(0,epsilon),epsilon>0$ non rappresenta tutti i numeri reali $0
Io con $[0^+,1^-]$ intendo che posso prendere un qualunque intervallo che contenga punti vicini agli estremi, tipo $[0,0001,0,9999]$
Magari è più corretto dire che Lagrange si possa applicare ad un generico intervallo $Isubset(0,1)$ però io volevo sottolineare il fatto che gli $x_1,x_2$ possano essere presi arbitrariamente vicini agli estremi.
Il concetto di funzione crescente e decrescente è certamente valido anche su intervalli diversi da quelli chiusi. Ma in effetti una funzione è crescente o decrescente indipendentemente dalla sua derivabilità. Una funzione è infatti crescente semplicemente se \( x \geq y \implies f(x) \geq f(y). \) Per quanto riguarda la notazione normalmente si scrive cose tipo \([a + \epsilon, b - \epsilon]\) assumendo che il valore \(\epsilon\) possa essere preso piccolo a piacere (ma comunque maggiore di zero).
"apatriarca":
Una funzione è infatti crescente semplicemente se \( x \geq y \implies f(x) \geq f(y). \)
Il problema è che non consideravo:
crescenza in $I=>f'(x)>0,forallx inI$, ma al contrario.
Cioè dedurre che applicando Lagrange a un generico $Isubset(0,1)$, essendo il teorema della crescenza una conseguenza di esso, allora potrei dire che se $f'(x)>0$ in ogni $Isubset(0,1)$ allora fosse crescente su $(0,1)$. Il concetto che mi infastidisce è che mi risulta essere un abuso stabilire che una funzione si deduca crescente su un intervallo aperto per mezzo di L., se non gli si puó effettivamente applicare.
Volevo capire sin dall'inizio se potendo applicare L. a un generico $[epsilon,1-epsilon],epsilon>0$, questo bastasse a giustificare l'abuso.
Naturalmente per abuso intendo che effettivamente non potrei applicare L. all'intervallo $(0,1)$.
Tutto qui.
Io credo che tu ti stia semplicemente incartando, perché non vi è alcun abuso. Secondo me vedi l'abuso perché intendi male l'applicazione del Teorema di Lagrange, che non è applicato direttamente all'intervallo \( I \), chiuso o aperto che sia, ma è applicato, per ogni possibile scelta di \( x_{1}, x_{2} \in I \), all'intervallo \( [x_{1}, x_{2}] \subseteq I \).
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