Derivate e mcLaurin
Ciao a tutti...
Devo calcolare lo sviluppo di McLaurin di ordine 5 della funzione
$g(x)=sin^2(4x) - log(1+16x^2) - b(x^5-x^4)$
e determinare successivamente il valore del parametro b tale che
$g(x)=o(x^4)$ per x che tende a zero
Ho pensato che bisogna calcolare le derivate fino alla quinta sia del seno sia del logaritmo e poi scrivere la formula di mclaurin con relativi fattoriali, ma purtroppo mi perdo nei conti e non riesco a capire bene la soluzione.
Qualcuno sarebbe così gentile da scrivermi le varie derivate per giungere alla formula?
e poi non ho idea di come si risolva la seconda domanda...
Ringrazio per l'aiuto
Devo calcolare lo sviluppo di McLaurin di ordine 5 della funzione
$g(x)=sin^2(4x) - log(1+16x^2) - b(x^5-x^4)$
e determinare successivamente il valore del parametro b tale che
$g(x)=o(x^4)$ per x che tende a zero
Ho pensato che bisogna calcolare le derivate fino alla quinta sia del seno sia del logaritmo e poi scrivere la formula di mclaurin con relativi fattoriali, ma purtroppo mi perdo nei conti e non riesco a capire bene la soluzione.
Qualcuno sarebbe così gentile da scrivermi le varie derivate per giungere alla formula?
e poi non ho idea di come si risolva la seconda domanda...
Ringrazio per l'aiuto
Risposte
No, quello che devi fare è usare gli sviluppi noti delle funzioni seno e logaritmo ed andare a sostituire con le opportune variabili.
Ciao......cioè? scusa ma non mi è chiaro, saresti così gentile da spiegarmi bene come funziona e che devo fare?
Grazie
Grazie
"ciampax":
No, quello che devi fare è usare gli sviluppi noti delle funzioni seno e logaritmo ed andare a sostituire con le opportune variabili.
Conosci gli sviluppi della funzione seno e della funzione logaritmo?
$\sin t=t-t^3/6+t^5/120+o(t^5)$ e $\log(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+t^4/4-t^5/5+o(t^5)$.
Se nella prima poni $t=4x$ ed elevi al quadrato quello che ottieni, mentre nella seconda poni $t=16x^2$ otterrai quello che va sostituito al posto di tali funzioni nella tua espressione. Alle fine si tratta di fare due conti.
$\sin t=t-t^3/6+t^5/120+o(t^5)$ e $\log(1+t)=t-t^2/2+t^3/3+t^4/4-t^5/5+o(t^5)$.
Se nella prima poni $t=4x$ ed elevi al quadrato quello che ottieni, mentre nella seconda poni $t=16x^2$ otterrai quello che va sostituito al posto di tali funzioni nella tua espressione. Alle fine si tratta di fare due conti.
Ah si...ho capito...ma una cosa...se mi si chiede l'ordine 5 utilizzo la formula fino a dove c'è $x^5$ compreso, oppure fino a $x^4$ e poi scrivo $+o(x^5)$ ?
e se non si avessero gli sviluppi, l'unica soluzione è calcolare le derivate?
Grazie ancora dell'aiuto
e se non si avessero gli sviluppi, l'unica soluzione è calcolare le derivate?
Grazie ancora dell'aiuto
Arriva fino alle potenze di grado $5$.
Per la seconda domanda, ti faccio presente che qualsiasi funzione, per quanto complessa, è una composizione delle funzioni elementari di cui si conosce precisamente (ci sono delle tabelle al riguardo) lo sviluppo in serie. Quindi... mettersi a calcolare derivate non è assolutamente un metodo da prendere in considerazione.
Per la seconda domanda, ti faccio presente che qualsiasi funzione, per quanto complessa, è una composizione delle funzioni elementari di cui si conosce precisamente (ci sono delle tabelle al riguardo) lo sviluppo in serie. Quindi... mettersi a calcolare derivate non è assolutamente un metodo da prendere in considerazione.
ti ringrazio...mi sei stato veramente di aiuto!!
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