Derivate e limiti

[alpha3]

sto impazzendo sul limite per x->2 della derivata di $x*log(x/(x-2))$
potreste darmi una mano?
grazie

[Steven11]

Ciao,
la derivata la hai trovata?

[alpha3]

se non ho commesso errori è $log(x/(x-2))-2/(x-2)$
il lim è nella forma $+\infty -\infty$ e non riesco a scriverlo in maniera diversa

[adaBTTLS1]

naturalmente calcola la derivata, ma non trascurare il dominio, per cui ... il limite si intende solo come limite destro...
ciao.

[adaBTTLS1]

la derivata è corretta, ed anche la forma indeterminata è corretta appunto nell'intorno destro.
a questo punto potresti anche osservare che per $x->2$ l'argomento del logaritmo e l'altra funzione da sottrarre "praticamente" coincidono... però forse non è sufficientemente rigoroso. che ne dici di mettere in evidenza $x/(x-2)$ ed applicare de l'Hopital? a me il limite viene $-oo$ ma ho applicato l'Hopital solo al limite di $(log(x/(x-2)))/(x/(x-2))$ ciao.

[alpha3]

grazie mille, limite calcolato.
mi basta adesso sapere che per la derivata lim x->2=lim x->0=$-\infty$ per affermare che la funzione è decrescente in tutto il dominio o devo necessariamente studiare il segno della derivata?

[adaBTTLS1]

non può essere decrescente su tutto il dominio se da 2 a $+oo$ assume valori da $-oo$ a $+oo$... forse è decrescente in $(-oo, 0)$ ma crescente in $(2, +oo)$, e comunque i limiti calcolati non sono sufficienti per trovare l'andamento complessivo della funzione. devi (ed è anche sufficiente) studiare il segno della derivata prima. ciao.

[alpha3]

giusto... dicevo fosse decrescente perchè mi basavo su uno schizzo di grafico sbagliato a causa di un segno, grazie della correzione, ciao